Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7288 / 11172
↖ ↑ ↗
← S 54.622978°
W 19.863281°		 ← 1 414.55 m → S 54.622978°
W 19.841308°		 →
↑
1 414.30 m
↓
↑
1 414.30 m
↓
S 54.635697°
W 19.863281°		 ← 1 414.10 m →
2 000 278 m²		 S 54.635697°
W 19.841308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444854736328125 y=0.681915283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444854736328125 × 214)
    floor (0.444854736328125 × 16384)
    floor (7288.5)     		tx = 7288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681915283203125 × 214)
    floor (0.681915283203125 × 16384)
    floor (11172.5)     		ty = 11172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7288 / 11172 ti = "14/7288/11172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7288/11172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7288 ÷ 214
    7288 ÷ 16384     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11172 ÷ 214
    11172 ÷ 16384     		y = 0.681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.36376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14281568694214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14281568694214))-π/2
    2×atan(0.318919778161144)-π/2
    2×0.308722755576749-π/2
    0.617445511153497-1.57079632675     		φ = -0.95335082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95335082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.622978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7288 KachelY 11172 -0.34667966 -0.95335082 -19.863281 -54.622978
    Oben rechts KachelX + 1 7289 KachelY 11172 -0.34629616 -0.95335082 -19.841308 -54.622978
    Unten links KachelX 7288 KachelY + 1 11173 -0.34667966 -0.95357281 -19.863281 -54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 7289 KachelY + 1 11173 -0.34629616 -0.95357281 -19.841308 -54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95335082--0.95357281) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dl = 1414.29829000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95335082--0.95357281) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dr = 1414.29829000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34629616) × cos(-0.95335082) × R
    0.000383499999999981 × 0.578954220058383 × 6371000     		do = 1414.54639835285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34629616) × cos(-0.95357281) × R
    0.000383499999999981 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 1414.10412575096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95335082)-sin(-0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578954220058383-0.578773204017074)×R²
    abs(-0.34629616--0.34667966)×0.00018101604130949×R²
    0.000383499999999981×0.00018101604130949×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018101604130949×40589641000000     		ar = 2000277.80783928m²