Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7286 / 10955
↖ ↑ ↗
← S 51.767840°
W 19.907227°		 ← 1 512.02 m → S 51.767840°
W 19.885254°		 →
↑
1 511.77 m
↓
↑
1 511.77 m
↓
S 51.781435°
W 19.907227°		 ← 1 511.57 m →
2 285 491 m²		 S 51.781435°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444732666015625 y=0.668670654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444732666015625 × 214)
    floor (0.444732666015625 × 16384)
    floor (7286.5)     		tx = 7286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668670654296875 × 214)
    floor (0.668670654296875 × 16384)
    floor (10955.5)     		ty = 10955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7286 / 10955 ti = "14/7286/10955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7286/10955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7286 ÷ 214
    7286 ÷ 16384     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10955 ÷ 214
    10955 ÷ 16384     		y = 0.66864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05959722920172))-π/2
    2×atan(0.346595380718904)-π/2
    2×0.333638537067309-π/2
    0.667277074134617-1.57079632675     		φ = -0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7286 KachelY 10955 -0.34744665 -0.90351925 -19.907227 -51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 7287 KachelY 10955 -0.34706315 -0.90351925 -19.885254 -51.767840
    Unten links KachelX 7286 KachelY + 1 10956 -0.34744665 -0.90375654 -19.907227 -51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 7287 KachelY + 1 10956 -0.34706315 -0.90375654 -19.885254 -51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90351925--0.90375654) × R
    0.000237290000000057 × 6371000     		dl = 1511.77459000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90351925--0.90375654) × R
    0.000237290000000057 × 6371000     		dr = 1511.77459000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.90351925) × R
    0.000383500000000037 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 1512.0214371325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.90375654) × R
    0.000383500000000037 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 1511.56598312701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90351925)-sin(-0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.618662990374151)×R²
    abs(-0.34706315--0.34744665)×0.000186411006968479×R²
    0.000383500000000037×0.000186411006968479×6371000²
    0.000383500000000037×0.000186411006968479×40589641000000     		ar = 2285491.3270204m²