Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7284 / 11261
↖ ↑ ↗
← S 55.739482°
W 19.951172°		 ← 1 375.46 m → S 55.739482°
W 19.929199°		 →
↑
1 375.24 m
↓
↑
1 375.24 m
↓
S 55.751850°
W 19.951172°		 ← 1 375.02 m →
1 891 293 m²		 S 55.751850°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444610595703125 y=0.687347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444610595703125 × 214)
    floor (0.444610595703125 × 16384)
    floor (7284.5)     		tx = 7284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687347412109375 × 214)
    floor (0.687347412109375 × 16384)
    floor (11261.5)     		ty = 11261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7284 / 11261 ti = "14/7284/11261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7284/11261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7284 ÷ 214
    7284 ÷ 16384     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11261 ÷ 214
    11261 ÷ 16384     		y = 0.68731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17694675947162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17694675947162))-π/2
    2×atan(0.308218368227009)-π/2
    2×0.298979423908255-π/2
    0.597958847816511-1.57079632675     		φ = -0.97283748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97283748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.739482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7284 KachelY 11261 -0.34821364 -0.97283748 -19.951172 -55.739482
    Oben rechts KachelX + 1 7285 KachelY 11261 -0.34783014 -0.97283748 -19.929199 -55.739482
    Unten links KachelX 7284 KachelY + 1 11262 -0.34821364 -0.97305334 -19.951172 -55.751850
    Unten rechts KachelX + 1 7285 KachelY + 1 11262 -0.34783014 -0.97305334 -19.929199 -55.751850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97283748--0.97305334) × R
    0.000215859999999957 × 6371000     		dl = 1375.24405999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97283748--0.97305334) × R
    0.000215859999999957 × 6371000     		dr = 1375.24405999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34783014) × cos(-0.97283748) × R
    0.000383499999999981 × 0.562956661892793 × 6371000     		do = 1375.45990843436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34783014) × cos(-0.97305334) × R
    0.000383499999999981 × 0.562778243420655 × 6371000     		du = 1375.02398241739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97283748)-sin(-0.97305334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562956661892793-0.562778243420655)×R²
    abs(-0.34783014--0.34821364)×0.000178418472137287×R²
    0.000383499999999981×0.000178418472137287×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178418472137287×40589641000000     		ar = 1891293.323853m²