Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7284 / 11245
↖ ↑ ↗
← S 55.541065°
W 19.951172°		 ← 1 382.44 m → S 55.541065°
W 19.929199°		 →
↑
1 382.25 m
↓
↑
1 382.25 m
↓
S 55.553496°
W 19.951172°		 ← 1 382.01 m →
1 910 585 m²		 S 55.553496°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444610595703125 y=0.686370849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444610595703125 × 214)
    floor (0.444610595703125 × 16384)
    floor (7284.5)     		tx = 7284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686370849609375 × 214)
    floor (0.686370849609375 × 16384)
    floor (11245.5)     		ty = 11245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7284 / 11245 ti = "14/7284/11245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7284/11245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7284 ÷ 214
    7284 ÷ 16384     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11245 ÷ 214
    11245 ÷ 16384     		y = 0.68634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17081083632025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17081083632025))-π/2
    2×atan(0.310115386475564)-π/2
    2×0.300710936632827-π/2
    0.601421873265654-1.57079632675     		φ = -0.96937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.541065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7284 KachelY 11245 -0.34821364 -0.96937445 -19.951172 -55.541065
    Oben rechts KachelX + 1 7285 KachelY 11245 -0.34783014 -0.96937445 -19.929199 -55.541065
    Unten links KachelX 7284 KachelY + 1 11246 -0.34821364 -0.96959141 -19.951172 -55.553496
    Unten rechts KachelX + 1 7285 KachelY + 1 11246 -0.34783014 -0.96959141 -19.929199 -55.553496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96937445--0.96959141) × R
    0.000216960000000044 × 6371000     		dl = 1382.25216000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96937445--0.96959141) × R
    0.000216960000000044 × 6371000     		dr = 1382.25216000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34783014) × cos(-0.96937445) × R
    0.000383499999999981 × 0.565815427780212 × 6371000     		do = 1382.44466966363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34783014) × cos(-0.96959141) × R
    0.000383499999999981 × 0.565636524017402 × 6371000     		du = 1382.00755794638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96937445)-sin(-0.96959141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565815427780212-0.565636524017402)×R²
    abs(-0.34783014--0.34821364)×0.000178903762809379×R²
    0.000383499999999981×0.000178903762809379×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178903762809379×40589641000000     		ar = 1910585.03890933m²