Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7282 / 11134
↖ ↑ ↗
← S 54.136696°
W 19.995117°		 ← 1 431.40 m → S 54.136696°
W 19.973144°		 →
↑
1 431.18 m
↓
↑
1 431.18 m
↓
S 54.149567°
W 19.995117°		 ← 1 430.96 m →
2 048 279 m²		 S 54.149567°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444488525390625 y=0.679595947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444488525390625 × 214)
    floor (0.444488525390625 × 16384)
    floor (7282.5)     		tx = 7282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679595947265625 × 214)
    floor (0.679595947265625 × 16384)
    floor (11134.5)     		ty = 11134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7282 / 11134 ti = "14/7282/11134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7282/11134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7282 ÷ 214
    7282 ÷ 16384     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11134 ÷ 214
    11134 ÷ 16384     		y = 0.6795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12824286945764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12824286945764))-π/2
    2×atan(0.323601366999363)-π/2
    2×0.312966363744329-π/2
    0.625932727488659-1.57079632675     		φ = -0.94486360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94486360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.136696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7282 KachelY 11134 -0.34898063 -0.94486360 -19.995117 -54.136696
    Oben rechts KachelX + 1 7283 KachelY 11134 -0.34859713 -0.94486360 -19.973144 -54.136696
    Unten links KachelX 7282 KachelY + 1 11135 -0.34898063 -0.94508824 -19.995117 -54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 7283 KachelY + 1 11135 -0.34859713 -0.94508824 -19.973144 -54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94486360--0.94508824) × R
    0.000224639999999998 × 6371000     		dl = 1431.18143999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94486360--0.94508824) × R
    0.000224639999999998 × 6371000     		dr = 1431.18143999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34859713) × cos(-0.94486360) × R
    0.000383500000000037 × 0.585853425350789 × 6371000     		do = 1431.40307831107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34859713) × cos(-0.94508824) × R
    0.000383500000000037 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 1430.95823826087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94486360)-sin(-0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585853425350789-0.585671358488496)×R²
    abs(-0.34859713--0.34898063)×0.000182066862293273×R²
    0.000383500000000037×0.000182066862293273×6371000²
    0.000383500000000037×0.000182066862293273×40589641000000     		ar = 2048279.20403942m²