Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7281 / 10961
↖ ↑ ↗
← S 51.849353°
W 20.017090°		 ← 1 509.25 m → S 51.849353°
W 19.995117°		 →
↑
1 509.04 m
↓
↑
1 509.04 m
↓
S 51.862924°
W 20.017090°		 ← 1 508.80 m →
2 277 168 m²		 S 51.862924°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444427490234375 y=0.669036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444427490234375 × 214)
    floor (0.444427490234375 × 16384)
    floor (7281.5)     		tx = 7281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669036865234375 × 214)
    floor (0.669036865234375 × 16384)
    floor (10961.5)     		ty = 10961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7281 / 10961 ti = "14/7281/10961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7281/10961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7281 ÷ 214
    7281 ÷ 16384     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10961 ÷ 214
    10961 ÷ 16384     		y = 0.66900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.3380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06189820038348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06189820038348))-π/2
    2×atan(0.345798791551956)-π/2
    2×0.332927203029477-π/2
    0.665854406058954-1.57079632675     		φ = -0.90494192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90494192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.849353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7281 KachelY 10961 -0.34936412 -0.90494192 -20.017090 -51.849353
    Oben rechts KachelX + 1 7282 KachelY 10961 -0.34898063 -0.90494192 -19.995117 -51.849353
    Unten links KachelX 7281 KachelY + 1 10962 -0.34936412 -0.90517878 -20.017090 -51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 7282 KachelY + 1 10962 -0.34898063 -0.90517878 -19.995117 -51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90494192--0.90517878) × R
    0.000236860000000005 × 6371000     		dl = 1509.03506000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90494192--0.90517878) × R
    0.000236860000000005 × 6371000     		dr = 1509.03506000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34898063) × cos(-0.90494192) × R
    0.000383489999999986 × 0.61773125446456 × 6371000     		do = 1509.25013715301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34898063) × cos(-0.90517878) × R
    0.000383489999999986 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 1508.79501145926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90494192)-sin(-0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61773125446456-0.617544972973626)×R²
    abs(-0.34898063--0.34936412)×0.000186281490934581×R²
    0.000383489999999986×0.000186281490934581×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186281490934581×40589641000000     		ar = 2277167.9816068m²