Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7280 / 10960
↖ ↑ ↗
← S 51.835778°
W 20.039063°		 ← 1 509.74 m → S 51.835778°
W 20.017090°		 →
↑
1 509.48 m
↓
↑
1 509.48 m
↓
S 51.849353°
W 20.039063°		 ← 1 509.29 m →
2 278 587 m²		 S 51.849353°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444366455078125 y=0.668975830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444366455078125 × 214)
    floor (0.444366455078125 × 16384)
    floor (7280.5)     		tx = 7280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668975830078125 × 214)
    floor (0.668975830078125 × 16384)
    floor (10960.5)     		ty = 10960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7280 / 10960 ti = "14/7280/10960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7280/10960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7280 ÷ 214
    7280 ÷ 16384     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10960 ÷ 214
    10960 ÷ 16384     		y = 0.6689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6689453125 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06151470518652))-π/2
    2×atan(0.345931429158948)-π/2
    2×0.333045669375243-π/2
    0.666091338750486-1.57079632675     		φ = -0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7280 KachelY 10960 -0.34974762 -0.90470499 -20.039063 -51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 7281 KachelY 10960 -0.34936412 -0.90470499 -20.017090 -51.835778
    Unten links KachelX 7280 KachelY + 1 10961 -0.34974762 -0.90494192 -20.039063 -51.849353
    Unten rechts KachelX + 1 7281 KachelY + 1 10961 -0.34936412 -0.90494192 -20.017090 -51.849353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90470499--0.90494192) × R
    0.000236929999999913 × 6371000     		dl = 1509.48102999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90470499--0.90494192) × R
    0.000236929999999913 × 6371000     		dr = 1509.48102999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.90470499) × R
    0.000383499999999981 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 1509.74468016854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.90494192) × R
    0.000383499999999981 × 0.61773125446456 × 6371000     		du = 1509.28949281122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90470499)-sin(-0.90494192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.61773125446456)×R²
    abs(-0.34936412--0.34974762)×0.000186301871572647×R²
    0.000383499999999981×0.000186301871572647×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186301871572647×40589641000000     		ar = 2278587.41717584m²