Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7276 / 11259
↖ ↑ ↗
← S 55.714735°
W 20.126953°		 ← 1 376.30 m → S 55.714735°
W 20.104981°		 →
↑
1 376.07 m
↓
↑
1 376.07 m
↓
S 55.727110°
W 20.126953°		 ← 1 375.86 m →
1 893 583 m²		 S 55.727110°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444122314453125 y=0.687225341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444122314453125 × 214)
    floor (0.444122314453125 × 16384)
    floor (7276.5)     		tx = 7276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687225341796875 × 214)
    floor (0.687225341796875 × 16384)
    floor (11259.5)     		ty = 11259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7276 / 11259 ti = "14/7276/11259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7276/11259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7276 ÷ 214
    7276 ÷ 16384     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11259 ÷ 214
    11259 ÷ 16384     		y = 0.68719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1761797690777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1761797690777))-π/2
    2×atan(0.308454859436318)-π/2
    2×0.299195383519739-π/2
    0.598390767039478-1.57079632675     		φ = -0.97240556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97240556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.714735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7276 KachelY 11259 -0.35128160 -0.97240556 -20.126953 -55.714735
    Oben rechts KachelX + 1 7277 KachelY 11259 -0.35089811 -0.97240556 -20.104981 -55.714735
    Unten links KachelX 7276 KachelY + 1 11260 -0.35128160 -0.97262155 -20.126953 -55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 7277 KachelY + 1 11260 -0.35089811 -0.97262155 -20.104981 -55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97240556--0.97262155) × R
    0.000215989999999944 × 6371000     		dl = 1376.07228999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97240556--0.97262155) × R
    0.000215989999999944 × 6371000     		dr = 1376.07228999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35089811) × cos(-0.97240556) × R
    0.000383490000000042 × 0.563313585383596 × 6371000     		do = 1376.29608321728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35089811) × cos(-0.97262155) × R
    0.000383490000000042 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 1375.86003435604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97240556)-sin(-0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563313585383596-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.35089811--0.35128160)×0.000178473404394919×R²
    0.000383490000000042×0.000178473404394919×6371000²
    0.000383490000000042×0.000178473404394919×40589641000000     		ar = 1893582.89293382m²