Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7274 / 11242
↖ ↑ ↗
← S 55.503750°
W 20.170898°		 ← 1 383.72 m → S 55.503750°
W 20.148926°		 →
↑
1 383.53 m
↓
↑
1 383.53 m
↓
S 55.516192°
W 20.170898°		 ← 1 383.28 m →
1 914 111 m²		 S 55.516192°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444000244140625 y=0.686187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444000244140625 × 214)
    floor (0.444000244140625 × 16384)
    floor (7274.5)     		tx = 7274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686187744140625 × 214)
    floor (0.686187744140625 × 16384)
    floor (11242.5)     		ty = 11242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7274 / 11242 ti = "14/7274/11242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7274/11242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7274 ÷ 214
    7274 ÷ 16384     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11242 ÷ 214
    11242 ÷ 16384     		y = 0.6861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16966035072937))-π/2
    2×atan(0.310472375074958)-π/2
    2×0.30103657228307-π/2
    0.60207314456614-1.57079632675     		φ = -0.96872318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96872318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.503750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7274 KachelY 11242 -0.35204859 -0.96872318 -20.170898 -55.503750
    Oben rechts KachelX + 1 7275 KachelY 11242 -0.35166510 -0.96872318 -20.148926 -55.503750
    Unten links KachelX 7274 KachelY + 1 11243 -0.35204859 -0.96894034 -20.170898 -55.516192
    Unten rechts KachelX + 1 7275 KachelY + 1 11243 -0.35166510 -0.96894034 -20.148926 -55.516192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96872318--0.96894034) × R
    0.000217159999999939 × 6371000     		dl = 1383.52635999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96872318--0.96894034) × R
    0.000217159999999939 × 6371000     		dr = 1383.52635999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(-0.96872318) × R
    0.000383489999999986 × 0.566352300655508 × 6371000     		do = 1383.72031731201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(-0.96894034) × R
    0.000383489999999986 × 0.56617331201022 × 6371000     		du = 1383.28300960661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96872318)-sin(-0.96894034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566352300655508-0.56617331201022)×R²
    abs(-0.35166510--0.35204859)×0.000178988645287315×R²
    0.000383489999999986×0.000178988645287315×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178988645287315×40589641000000     		ar = 1914111.02802181m²