Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7271 / 11076
↖ ↑ ↗
← S 53.383329°
W 20.236817°		 ← 1 457.31 m → S 53.383329°
W 20.214844°		 →
↑
1 457.05 m
↓
↑
1 457.05 m
↓
S 53.396432°
W 20.236817°		 ← 1 456.87 m →
2 123 049 m²		 S 53.396432°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443817138671875 y=0.676055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443817138671875 × 214)
    floor (0.443817138671875 × 16384)
    floor (7271.5)     		tx = 7271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676055908203125 × 214)
    floor (0.676055908203125 × 16384)
    floor (11076.5)     		ty = 11076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7271 / 11076 ti = "14/7271/11076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7271/11076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7271 ÷ 214
    7271 ÷ 16384     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11076 ÷ 214
    11076 ÷ 16384     		y = 0.676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10600014803394))-π/2
    2×atan(0.330879787928551)-π/2
    2×0.319540740563169-π/2
    0.639081481126338-1.57079632675     		φ = -0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7271 KachelY 11076 -0.35319908 -0.93171485 -20.236817 -53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 7272 KachelY 11076 -0.35281558 -0.93171485 -20.214844 -53.383329
    Unten links KachelX 7271 KachelY + 1 11077 -0.35319908 -0.93194355 -20.236817 -53.396432
    Unten rechts KachelX + 1 7272 KachelY + 1 11077 -0.35281558 -0.93194355 -20.214844 -53.396432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93171485--0.93194355) × R
    0.000228699999999971 × 6371000     		dl = 1457.04769999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93171485--0.93194355) × R
    0.000228699999999971 × 6371000     		dr = 1457.04769999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35281558) × cos(-0.93171485) × R
    0.000383499999999981 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 1457.31409719966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35281558) × cos(-0.93194355) × R
    0.000383499999999981 × 0.596274865707365 × 6371000     		du = 1456.86555947312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93171485)-sin(-0.93194355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.596274865707365)×R²
    abs(-0.35281558--0.35319908)×0.000183580269927708×R²
    0.000383499999999981×0.000183580269927708×6371000²
    0.000383499999999981×0.000183580269927708×40589641000000     		ar = 2123049.39232491m²