Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7270 / 11326
↖ ↑ ↗
← S 56.535258°
W 20.258789°		 ← 1 347.25 m → S 56.535258°
W 20.236817°		 →
↑
1 347.08 m
↓
↑
1 347.08 m
↓
S 56.547372°
W 20.258789°		 ← 1 346.82 m →
1 814 564 m²		 S 56.547372°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443756103515625 y=0.691314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443756103515625 × 214)
    floor (0.443756103515625 × 16384)
    floor (7270.5)     		tx = 7270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691314697265625 × 214)
    floor (0.691314697265625 × 16384)
    floor (11326.5)     		ty = 11326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7270 / 11326 ti = "14/7270/11326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7270/11326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7270 ÷ 214
    7270 ÷ 16384     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11326 ÷ 214
    11326 ÷ 16384     		y = 0.6912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20187394727405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20187394727405))-π/2
    2×atan(0.300630318358242)-π/2
    2×0.292034967833851-π/2
    0.584069935667702-1.57079632675     		φ = -0.98672639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98672639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.535258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7270 KachelY 11326 -0.35358257 -0.98672639 -20.258789 -56.535258
    Oben rechts KachelX + 1 7271 KachelY 11326 -0.35319908 -0.98672639 -20.236817 -56.535258
    Unten links KachelX 7270 KachelY + 1 11327 -0.35358257 -0.98693783 -20.258789 -56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 7271 KachelY + 1 11327 -0.35319908 -0.98693783 -20.236817 -56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98672639--0.98693783) × R
    0.000211440000000063 × 6371000     		dl = 1347.0842400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98672639--0.98693783) × R
    0.000211440000000063 × 6371000     		dr = 1347.0842400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(-0.98672639) × R
    0.000383489999999986 × 0.551423738676219 × 6371000     		do = 1347.24663389078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35319908) × cos(-0.98693783) × R
    0.000383489999999986 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 1346.8156485455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98672639)-sin(-0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551423738676219-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.35319908--0.35358257)×0.000176400923507458×R²
    0.000383489999999986×0.000176400923507458×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176400923507458×40589641000000     		ar = 1814564.42788445m²