Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7267 / 11112
↖ ↑ ↗
← S 53.852527°
W 20.324707°		 ← 1 441.21 m → S 53.852527°
W 20.302734°		 →
↑
1 440.99 m
↓
↑
1 440.99 m
↓
S 53.865486°
W 20.324707°		 ← 1 440.76 m →
2 076 446 m²		 S 53.865486°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443572998046875 y=0.678253173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443572998046875 × 214)
    floor (0.443572998046875 × 16384)
    floor (7267.5)     		tx = 7267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678253173828125 × 214)
    floor (0.678253173828125 × 16384)
    floor (11112.5)     		ty = 11112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7267 / 11112 ti = "14/7267/11112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7267/11112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7267 ÷ 214
    7267 ÷ 16384     		x = 0.44354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11112 ÷ 214
    11112 ÷ 16384     		y = 0.67822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35473306} λ = -0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11980597512451))-π/2
    2×atan(0.326343107161471)-π/2
    2×0.315446213559052-π/2
    0.630892427118103-1.57079632675     		φ = -0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7267 KachelY 11112 -0.35473306 -0.93990390 -20.324707 -53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 7268 KachelY 11112 -0.35434956 -0.93990390 -20.302734 -53.852527
    Unten links KachelX 7267 KachelY + 1 11113 -0.35473306 -0.94013008 -20.324707 -53.865486
    Unten rechts KachelX + 1 7268 KachelY + 1 11113 -0.35434956 -0.94013008 -20.302734 -53.865486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93990390--0.94013008) × R
    0.000226179999999965 × 6371000     		dl = 1440.99277999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93990390--0.94013008) × R
    0.000226179999999965 × 6371000     		dr = 1440.99277999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35473306--0.35434956) × cos(-0.93990390) × R
    0.000383499999999981 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 1441.20600834752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35473306--0.35434956) × cos(-0.94013008) × R
    0.000383499999999981 × 0.589682972883849 × 6371000     		du = 1440.75972946312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93990390)-sin(-0.94013008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.589682972883849)×R²
    abs(-0.35434956--0.35473306)×0.000182655757170247×R²
    0.000383499999999981×0.000182655757170247×6371000²
    0.000383499999999981×0.000182655757170247×40589641000000     		ar = 2076445.9190484m²