Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7264 / 10937
↖ ↑ ↗
← S 51.522416°
W 20.390625°		 ← 1 520.19 m → S 51.522416°
W 20.368652°		 →
↑
1 519.99 m
↓
↑
1 519.99 m
↓
S 51.536086°
W 20.390625°		 ← 1 519.73 m →
2 310 330 m²		 S 51.536086°
W 20.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443389892578125 y=0.667572021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443389892578125 × 214)
    floor (0.443389892578125 × 16384)
    floor (7264.5)     		tx = 7264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667572021484375 × 214)
    floor (0.667572021484375 × 16384)
    floor (10937.5)     		ty = 10937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7264 / 10937 ti = "14/7264/10937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7264/10937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7264 ÷ 214
    7264 ÷ 16384     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10937 ÷ 214
    10937 ÷ 16384     		y = 0.66754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05269431565643))-π/2
    2×atan(0.34899617537298)-π/2
    2×0.335780263795473-π/2
    0.671560527590946-1.57079632675     		φ = -0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7264 KachelY 10937 -0.35588354 -0.89923580 -20.390625 -51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 7265 KachelY 10937 -0.35550005 -0.89923580 -20.368652 -51.522416
    Unten links KachelX 7264 KachelY + 1 10938 -0.35588354 -0.89947438 -20.390625 -51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 7265 KachelY + 1 10938 -0.35550005 -0.89947438 -20.368652 -51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89923580--0.89947438) × R
    0.000238579999999988 × 6371000     		dl = 1519.99317999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89923580--0.89947438) × R
    0.000238579999999988 × 6371000     		dr = 1519.99317999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.35550005) × cos(-0.89923580) × R
    0.000383489999999986 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 1520.1887778664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.35550005) × cos(-0.89947438) × R
    0.000383489999999986 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 1519.73240867082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89923580)-sin(-0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.622021614673869)×R²
    abs(-0.35550005--0.35588354)×0.000186790452255559×R²
    0.000383489999999986×0.000186790452255559×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186790452255559×40589641000000     		ar = 2310329.7465965m²