Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7263 / 11225
↖ ↑ ↗
← S 55.291629°
W 20.412598°		 ← 1 391.20 m → S 55.291629°
W 20.390625°		 →
↑
1 390.92 m
↓
↑
1 390.92 m
↓
S 55.304138°
W 20.412598°		 ← 1 390.76 m →
1 934 741 m²		 S 55.304138°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443328857421875 y=0.685150146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443328857421875 × 214)
    floor (0.443328857421875 × 16384)
    floor (7263.5)     		tx = 7263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685150146484375 × 214)
    floor (0.685150146484375 × 16384)
    floor (11225.5)     		ty = 11225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7263 / 11225 ti = "14/7263/11225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7263/11225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7263 ÷ 214
    7263 ÷ 16384     		x = 0.44329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11225 ÷ 214
    11225 ÷ 16384     		y = 0.68511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16314093238104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35626704} λ = -0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16314093238104))-π/2
    2×atan(0.312503086710444)-π/2
    2×0.302887680464577-π/2
    0.605775360929154-1.57079632675     		φ = -0.96502097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96502097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.291629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7263 KachelY 11225 -0.35626704 -0.96502097 -20.412598 -55.291629
    Oben rechts KachelX + 1 7264 KachelY 11225 -0.35588354 -0.96502097 -20.390625 -55.291629
    Unten links KachelX 7263 KachelY + 1 11226 -0.35626704 -0.96523929 -20.412598 -55.304138
    Unten rechts KachelX + 1 7264 KachelY + 1 11226 -0.35588354 -0.96523929 -20.390625 -55.304138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96502097--0.96523929) × R
    0.000218319999999994 × 6371000     		dl = 1390.91671999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96502097--0.96523929) × R
    0.000218319999999994 × 6371000     		dr = 1390.91671999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35626704--0.35588354) × cos(-0.96502097) × R
    0.000383499999999981 × 0.569399637821557 × 6371000     		do = 1391.20189299713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35626704--0.35588354) × cos(-0.96523929) × R
    0.000383499999999981 × 0.56922015192688 × 6371000     		du = 1390.76335896961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96502097)-sin(-0.96523929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569399637821557-0.56922015192688)×R²
    abs(-0.35588354--0.35626704)×0.000179485894677534×R²
    0.000383499999999981×0.000179485894677534×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179485894677534×40589641000000     		ar = 1934740.99939518m²