Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7260 / 11324
↖ ↑ ↗
← S 56.511018°
W 20.478515°		 ← 1 348.11 m → S 56.511018°
W 20.456543°		 →
↑
1 347.91 m
↓
↑
1 347.91 m
↓
S 56.523140°
W 20.478515°		 ← 1 347.68 m →
1 816 842 m²		 S 56.523140°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443145751953125 y=0.691192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443145751953125 × 214)
    floor (0.443145751953125 × 16384)
    floor (7260.5)     		tx = 7260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691192626953125 × 214)
    floor (0.691192626953125 × 16384)
    floor (11324.5)     		ty = 11324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7260 / 11324 ti = "14/7260/11324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7260/11324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7260 ÷ 214
    7260 ÷ 16384     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11324 ÷ 214
    11324 ÷ 16384     		y = 0.691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.38232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20110695688013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20110695688013))-π/2
    2×atan(0.300860987373696)-π/2
    2×0.292246503850137-π/2
    0.584493007700273-1.57079632675     		φ = -0.98630332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98630332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.511018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7260 KachelY 11324 -0.35741752 -0.98630332 -20.478515 -56.511018
    Oben rechts KachelX + 1 7261 KachelY 11324 -0.35703403 -0.98630332 -20.456543 -56.511018
    Unten links KachelX 7260 KachelY + 1 11325 -0.35741752 -0.98651489 -20.478515 -56.523140
    Unten rechts KachelX + 1 7261 KachelY + 1 11325 -0.35703403 -0.98651489 -20.456543 -56.523140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98630332--0.98651489) × R
    0.00021157000000005 × 6371000     		dl = 1347.91247000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98630332--0.98651489) × R
    0.00021157000000005 × 6371000     		dr = 1347.91247000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.98630332) × R
    0.000383489999999986 × 0.551776625016533 × 6371000     		do = 1348.10881101663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.98651489) × R
    0.000383489999999986 × 0.551600164993815 × 6371000     		du = 1347.67768127928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98630332)-sin(-0.98651489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551776625016533-0.551600164993815)×R²
    abs(-0.35703403--0.35741752)×0.000176460022717539×R²
    0.000383489999999986×0.000176460022717539×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176460022717539×40589641000000     		ar = 1816842.12148955m²