Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7260 / 11095
↖ ↑ ↗
← S 53.631611°
W 20.478515°		 ← 1 448.76 m → S 53.631611°
W 20.456543°		 →
↑
1 448.57 m
↓
↑
1 448.57 m
↓
S 53.644638°
W 20.478515°		 ← 1 448.32 m →
2 098 319 m²		 S 53.644638°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443145751953125 y=0.677215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443145751953125 × 214)
    floor (0.443145751953125 × 16384)
    floor (7260.5)     		tx = 7260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677215576171875 × 214)
    floor (0.677215576171875 × 16384)
    floor (11095.5)     		ty = 11095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7260 / 11095 ti = "14/7260/11095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7260/11095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7260 ÷ 214
    7260 ÷ 16384     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11095 ÷ 214
    11095 ÷ 16384     		y = 0.67718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11328655677618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11328655677618))-π/2
    2×atan(0.328477624748465)-π/2
    2×0.317374069290728-π/2
    0.634748138581456-1.57079632675     		φ = -0.93604819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93604819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.631611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7260 KachelY 11095 -0.35741752 -0.93604819 -20.478515 -53.631611
    Oben rechts KachelX + 1 7261 KachelY 11095 -0.35703403 -0.93604819 -20.456543 -53.631611
    Unten links KachelX 7260 KachelY + 1 11096 -0.35741752 -0.93627556 -20.478515 -53.644638
    Unten rechts KachelX + 1 7261 KachelY + 1 11096 -0.35703403 -0.93627556 -20.456543 -53.644638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93604819--0.93627556) × R
    0.00022737000000006 × 6371000     		dl = 1448.57427000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93604819--0.93627556) × R
    0.00022737000000006 × 6371000     		dr = 1448.57427000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.93604819) × R
    0.000383489999999986 × 0.592974727606015 × 6371000     		do = 1448.76462458319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35703403) × cos(-0.93627556) × R
    0.000383489999999986 × 0.592791629165245 × 6371000     		du = 1448.31727576467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93604819)-sin(-0.93627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592974727606015-0.592791629165245)×R²
    abs(-0.35703403--0.35741752)×0.000183098440770135×R²
    0.000383489999999986×0.000183098440770135×6371000²
    0.000383489999999986×0.000183098440770135×40589641000000     		ar = 2098319.15850386m²