Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7257 / 11353
↖ ↑ ↗
← S 56.860986°
W 20.544434°		 ← 1 335.67 m → S 56.860986°
W 20.522461°		 →
↑
1 335.43 m
↓
↑
1 335.43 m
↓
S 56.872996°
W 20.544434°		 ← 1 335.24 m →
1 783 405 m²		 S 56.872996°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442962646484375 y=0.692962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442962646484375 × 214)
    floor (0.442962646484375 × 16384)
    floor (7257.5)     		tx = 7257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692962646484375 × 214)
    floor (0.692962646484375 × 16384)
    floor (11353.5)     		ty = 11353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7257 / 11353 ti = "14/7257/11353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7257/11353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7257 ÷ 214
    7257 ÷ 16384     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11353 ÷ 214
    11353 ÷ 16384     		y = 0.69293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.3858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21222831759198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21222831759198))-π/2
    2×atan(0.297533540970939)-π/2
    2×0.289192454767752-π/2
    0.578384909535505-1.57079632675     		φ = -0.99241142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99241142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.860986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7257 KachelY 11353 -0.35856801 -0.99241142 -20.544434 -56.860986
    Oben rechts KachelX + 1 7258 KachelY 11353 -0.35818451 -0.99241142 -20.522461 -56.860986
    Unten links KachelX 7257 KachelY + 1 11354 -0.35856801 -0.99262103 -20.544434 -56.872996
    Unten rechts KachelX + 1 7258 KachelY + 1 11354 -0.35818451 -0.99262103 -20.522461 -56.872996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99241142--0.99262103) × R
    0.000209609999999971 × 6371000     		dl = 1335.42530999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99241142--0.99262103) × R
    0.000209609999999971 × 6371000     		dr = 1335.42530999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.99241142) × R
    0.000383499999999981 × 0.546672257469805 × 6371000     		do = 1335.67257322237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.99262103) × R
    0.000383499999999981 × 0.546496729226556 × 6371000     		du = 1335.2437088395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99241142)-sin(-0.99262103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546672257469805-0.546496729226556)×R²
    abs(-0.35818451--0.35856801)×0.000175528243249401×R²
    0.000383499999999981×0.000175528243249401×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175528243249401×40589641000000     		ar = 1783404.60850721m²