Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7257 / 11173
↖ ↑ ↗
← S 54.635697°
W 20.544434°		 ← 1 414.10 m → S 54.635697°
W 20.522461°		 →
↑
1 413.85 m
↓
↑
1 413.85 m
↓
S 54.648413°
W 20.544434°		 ← 1 413.66 m →
1 999 022 m²		 S 54.648413°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442962646484375 y=0.681976318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442962646484375 × 214)
    floor (0.442962646484375 × 16384)
    floor (7257.5)     		tx = 7257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681976318359375 × 214)
    floor (0.681976318359375 × 16384)
    floor (11173.5)     		ty = 11173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7257 / 11173 ti = "14/7257/11173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7257/11173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7257 ÷ 214
    7257 ÷ 16384     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11173 ÷ 214
    11173 ÷ 16384     		y = 0.68194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1431991821391))-π/2
    2×atan(0.318797497406543)-π/2
    2×0.308611759849999-π/2
    0.617223519699998-1.57079632675     		φ = -0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7257 KachelY 11173 -0.35856801 -0.95357281 -20.544434 -54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 7258 KachelY 11173 -0.35818451 -0.95357281 -20.522461 -54.635697
    Unten links KachelX 7257 KachelY + 1 11174 -0.35856801 -0.95379473 -20.544434 -54.648413
    Unten rechts KachelX + 1 7258 KachelY + 1 11174 -0.35818451 -0.95379473 -20.522461 -54.648413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95357281--0.95379473) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dl = 1413.85231999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95357281--0.95379473) × R
    0.000221919999999987 × 6371000     		dr = 1413.85231999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.95357281) × R
    0.000383499999999981 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 1414.10412575096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35818451) × cos(-0.95379473) × R
    0.000383499999999981 × 0.578592216547265 × 6371000     		du = 1413.66192295721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95357281)-sin(-0.95379473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578592216547265)×R²
    abs(-0.35818451--0.35856801)×0.000180987469808547×R²
    0.000383499999999981×0.000180987469808547×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180987469808547×40589641000000     		ar = 1999021.8023951m²