Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7254 / 11182
↖ ↑ ↗
← S 54.749991°
W 20.610351°		 ← 1 410.09 m → S 54.749991°
W 20.588379°		 →
↑
1 409.90 m
↓
↑
1 409.90 m
↓
S 54.762671°
W 20.610351°		 ← 1 409.65 m →
1 987 778 m²		 S 54.762671°
W 20.588379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442779541015625 y=0.682525634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442779541015625 × 214)
    floor (0.442779541015625 × 16384)
    floor (7254.5)     		tx = 7254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682525634765625 × 214)
    floor (0.682525634765625 × 16384)
    floor (11182.5)     		ty = 11182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7254 / 11182 ti = "14/7254/11182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7254/11182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7254 ÷ 214
    7254 ÷ 16384     		x = 0.4427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11182 ÷ 214
    11182 ÷ 16384     		y = 0.6824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35971849} λ = -0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14665063891174))-π/2
    2×atan(0.317699078288484)-π/2
    2×0.307614359473094-π/2
    0.615228718946187-1.57079632675     		φ = -0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7254 KachelY 11182 -0.35971849 -0.95556761 -20.610351 -54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 7255 KachelY 11182 -0.35933500 -0.95556761 -20.588379 -54.749991
    Unten links KachelX 7254 KachelY + 1 11183 -0.35971849 -0.95578891 -20.610351 -54.762671
    Unten rechts KachelX + 1 7255 KachelY + 1 11183 -0.35933500 -0.95578891 -20.588379 -54.762671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95556761--0.95578891) × R
    0.00022129999999998 × 6371000     		dl = 1409.90229999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95556761--0.95578891) × R
    0.00022129999999998 × 6371000     		dr = 1409.90229999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35971849--0.35933500) × cos(-0.95556761) × R
    0.000383489999999986 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 1410.08997446859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35971849--0.35933500) × cos(-0.95578891) × R
    0.000383489999999986 × 0.576964580110661 × 6371000     		du = 1409.64839543246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95556761)-sin(-0.95578891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.576964580110661)×R²
    abs(-0.35933500--0.35971849)×0.000180736887293365×R²
    0.000383489999999986×0.000180736887293365×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180736887293365×40589641000000     		ar = 1987777.81467245m²