Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7250 / 11185
↖ ↑ ↗
← S 54.788017°
W 20.698242°		 ← 1 408.80 m → S 54.788017°
W 20.676270°		 →
↑
1 408.56 m
↓
↑
1 408.56 m
↓
S 54.800685°
W 20.698242°		 ← 1 408.36 m →
1 984 078 m²		 S 54.800685°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442535400390625 y=0.682708740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442535400390625 × 214)
    floor (0.442535400390625 × 16384)
    floor (7250.5)     		tx = 7250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682708740234375 × 214)
    floor (0.682708740234375 × 16384)
    floor (11185.5)     		ty = 11185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7250 / 11185 ti = "14/7250/11185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7250/11185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7250 ÷ 214
    7250 ÷ 16384     		x = 0.4425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11185 ÷ 214
    11185 ÷ 16384     		y = 0.68267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3653564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14780112450262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36125248} λ = -0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14780112450262))-π/2
    2×atan(0.317333780252034)-π/2
    2×0.307282516724159-π/2
    0.614565033448318-1.57079632675     		φ = -0.95623129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95623129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.788017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7250 KachelY 11185 -0.36125248 -0.95623129 -20.698242 -54.788017
    Oben rechts KachelX + 1 7251 KachelY 11185 -0.36086898 -0.95623129 -20.676270 -54.788017
    Unten links KachelX 7250 KachelY + 1 11186 -0.36125248 -0.95645238 -20.698242 -54.800685
    Unten rechts KachelX + 1 7251 KachelY + 1 11186 -0.36086898 -0.95645238 -20.676270 -54.800685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95623129--0.95645238) × R
    0.000221090000000035 × 6371000     		dl = 1408.56439000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95623129--0.95645238) × R
    0.000221090000000035 × 6371000     		dr = 1408.56439000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.95623129) × R
    0.000383499999999981 × 0.576603201322039 × 6371000     		do = 1408.80220482124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.95645238) × R
    0.000383499999999981 × 0.576422551323008 × 6371000     		du = 1408.36082656258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95623129)-sin(-0.95645238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576603201322039-0.576422551323008)×R²
    abs(-0.36086898--0.36125248)×0.000180649999031002×R²
    0.000383499999999981×0.000180649999031002×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180649999031002×40589641000000     		ar = 1984077.77149886m²