Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7249 / 11729
↖ ↑ ↗
← S 61.111406°
W 20.720215°		 ← 1 180.34 m → S 61.111406°
W 20.698242°		 →
↑
1 180.16 m
↓
↑
1 180.16 m
↓
S 61.122019°
W 20.720215°		 ← 1 179.94 m →
1 392 757 m²		 S 61.122019°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442474365234375 y=0.715911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442474365234375 × 214)
    floor (0.442474365234375 × 16384)
    floor (7249.5)     		tx = 7249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715911865234375 × 214)
    floor (0.715911865234375 × 16384)
    floor (11729.5)     		ty = 11729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7249 / 11729 ti = "14/7249/11729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7249/11729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7249 ÷ 214
    7249 ÷ 16384     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11729 ÷ 214
    11729 ÷ 16384     		y = 0.71588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35642251164911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35642251164911))-π/2
    2×atan(0.257580622280161)-π/2
    2×0.252100542697672-π/2
    0.504201085395343-1.57079632675     		φ = -1.06659524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06659524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.111406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7249 KachelY 11729 -0.36163597 -1.06659524 -20.720215 -61.111406
    Oben rechts KachelX + 1 7250 KachelY 11729 -0.36125248 -1.06659524 -20.698242 -61.111406
    Unten links KachelX 7249 KachelY + 1 11730 -0.36163597 -1.06678048 -20.720215 -61.122019
    Unten rechts KachelX + 1 7250 KachelY + 1 11730 -0.36125248 -1.06678048 -20.698242 -61.122019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06659524--1.06678048) × R
    0.000185239999999975 × 6371000     		dl = 1180.16403999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06659524--1.06678048) × R
    0.000185239999999975 × 6371000     		dr = 1180.16403999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36125248) × cos(-1.06659524) × R
    0.000383489999999986 × 0.48310809755593 × 6371000     		do = 1180.33684911737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36125248) × cos(-1.06678048) × R
    0.000383489999999986 × 0.482945900401315 × 6371000     		du = 1179.94056663032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06659524)-sin(-1.06678048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48310809755593-0.482945900401315)×R²
    abs(-0.36125248--0.36163597)×0.000162197154615129×R²
    0.000383489999999986×0.000162197154615129×6371000²
    0.000383489999999986×0.000162197154615129×40589641000000     		ar = 1392757.26922683m²