Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7248 / 11728
↖ ↑ ↗
← S 61.100789°
W 20.742188°		 ← 1 180.76 m → S 61.100789°
W 20.720215°		 →
↑
1 180.55 m
↓
↑
1 180.55 m
↓
S 61.111406°
W 20.742188°		 ← 1 180.37 m →
1 393 713 m²		 S 61.111406°
W 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442413330078125 y=0.715850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442413330078125 × 214)
    floor (0.442413330078125 × 16384)
    floor (7248.5)     		tx = 7248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715850830078125 × 214)
    floor (0.715850830078125 × 16384)
    floor (11728.5)     		ty = 11728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7248 / 11728 ti = "14/7248/11728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7248/11728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7248 ÷ 214
    7248 ÷ 16384     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11728 ÷ 214
    11728 ÷ 16384     		y = 0.7158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7158203125 × 2 - 1) × π
    -0.431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35603901645215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35603901645215))-π/2
    2×atan(0.257679422155063)-π/2
    2×0.25219319306831-π/2
    0.504386386136621-1.57079632675     		φ = -1.06640994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06640994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.100789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7248 KachelY 11728 -0.36201947 -1.06640994 -20.742188 -61.100789
    Oben rechts KachelX + 1 7249 KachelY 11728 -0.36163597 -1.06640994 -20.720215 -61.100789
    Unten links KachelX 7248 KachelY + 1 11729 -0.36201947 -1.06659524 -20.742188 -61.111406
    Unten rechts KachelX + 1 7249 KachelY + 1 11729 -0.36163597 -1.06659524 -20.720215 -61.111406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06640994--1.06659524) × R
    0.000185300000000055 × 6371000     		dl = 1180.54630000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06640994--1.06659524) × R
    0.000185300000000055 × 6371000     		dr = 1180.54630000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36163597) × cos(-1.06640994) × R
    0.000383500000000037 × 0.483270330661515 × 6371000     		do = 1180.76400859328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36163597) × cos(-1.06659524) × R
    0.000383500000000037 × 0.48310809755593 × 6371000     		du = 1180.36762793442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06640994)-sin(-1.06659524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483270330661515-0.48310809755593)×R²
    abs(-0.36163597--0.36201947)×0.000162233105584497×R²
    0.000383500000000037×0.000162233105584497×6371000²
    0.000383500000000037×0.000162233105584497×40589641000000     		ar = 1393712.61264604m²