Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7245 / 11177
↖ ↑ ↗
← S 54.686534°
W 20.808105°		 ← 1 412.30 m → S 54.686534°
W 20.786133°		 →
↑
1 412.07 m
↓
↑
1 412.07 m
↓
S 54.699233°
W 20.808105°		 ← 1 411.86 m →
1 993 951 m²		 S 54.699233°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442230224609375 y=0.682220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442230224609375 × 214)
    floor (0.442230224609375 × 16384)
    floor (7245.5)     		tx = 7245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682220458984375 × 214)
    floor (0.682220458984375 × 16384)
    floor (11177.5)     		ty = 11177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7245 / 11177 ti = "14/7245/11177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7245/11177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7245 ÷ 214
    7245 ÷ 16384     		x = 0.44219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11177 ÷ 214
    11177 ÷ 16384     		y = 0.68218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14473316292694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36316995} λ = -0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14473316292694))-π/2
    2×atan(0.318308843059321)-π/2
    2×0.308168123958335-π/2
    0.61633624791667-1.57079632675     		φ = -0.95446008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95446008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.686534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7245 KachelY 11177 -0.36316995 -0.95446008 -20.808105 -54.686534
    Oben rechts KachelX + 1 7246 KachelY 11177 -0.36278646 -0.95446008 -20.786133 -54.686534
    Unten links KachelX 7245 KachelY + 1 11178 -0.36316995 -0.95468172 -20.808105 -54.699233
    Unten rechts KachelX + 1 7246 KachelY + 1 11178 -0.36278646 -0.95468172 -20.786133 -54.699233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95446008--0.95468172) × R
    0.000221639999999912 × 6371000     		dl = 1412.06843999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95446008--0.95468172) × R
    0.000221639999999912 × 6371000     		dr = 1412.06843999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36316995--0.36278646) × cos(-0.95446008) × R
    0.000383490000000042 × 0.578049417765525 × 6371000     		do = 1412.29888683577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36316995--0.36278646) × cos(-0.95468172) × R
    0.000383490000000042 × 0.577868544939017 × 6371000     		du = 1411.85697567094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95446008)-sin(-0.95468172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578049417765525-0.577868544939017)×R²
    abs(-0.36278646--0.36316995)×0.000180872826507916×R²
    0.000383490000000042×0.000180872826507916×6371000²
    0.000383490000000042×0.000180872826507916×40589641000000     		ar = 1993950.6897044m²