Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7244 / 11451
↖ ↑ ↗
← S 58.019737°
W 20.830078°		 ← 1 294.03 m → S 58.019737°
W 20.808105°		 →
↑
1 293.82 m
↓
↑
1 293.82 m
↓
S 58.031373°
W 20.830078°		 ← 1 293.61 m →
1 673 969 m²		 S 58.031373°
W 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442169189453125 y=0.698944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442169189453125 × 214)
    floor (0.442169189453125 × 16384)
    floor (7244.5)     		tx = 7244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.698944091796875 × 214)
    floor (0.698944091796875 × 16384)
    floor (11451.5)     		ty = 11451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7244 / 11451 ti = "14/7244/11451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7244/11451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7244 ÷ 214
    7244 ÷ 16384     		x = 0.442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11451 ÷ 214
    11451 ÷ 16384     		y = 0.69891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36355345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3978271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.2498108468941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36355345} λ = -0.36355345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2498108468941))-π/2
    2×atan(0.286558995258106)-π/2
    2×0.279080442509685-π/2
    0.55816088501937-1.57079632675     		φ = -1.01263544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36355345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.830078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01263544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.019737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7244 KachelY 11451 -0.36355345 -1.01263544 -20.830078 -58.019737
    Oben rechts KachelX + 1 7245 KachelY 11451 -0.36316995 -1.01263544 -20.808105 -58.019737
    Unten links KachelX 7244 KachelY + 1 11452 -0.36355345 -1.01283852 -20.830078 -58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 7245 KachelY + 1 11452 -0.36316995 -1.01283852 -20.808105 -58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01263544--1.01283852) × R
    0.000203080000000133 × 6371000     		dl = 1293.82268000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01263544--1.01283852) × R
    0.000203080000000133 × 6371000     		dr = 1293.82268000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36355345--0.36316995) × cos(-1.01263544) × R
    0.000383499999999981 × 0.529627102411306 × 6371000     		do = 1294.02651233878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36355345--0.36316995) × cos(-1.01283852) × R
    0.000383499999999981 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 1293.6056097578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01263544)-sin(-1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529627102411306-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.36316995--0.36355345)×0.000172269588167628×R²
    0.000383499999999981×0.000172269588167628×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172269588167628×40589641000000     		ar = 1673968.56928624m²