Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7240 / 11224
↖ ↑ ↗
← S 55.279115°
W 20.917969°		 ← 1 391.64 m → S 55.279115°
W 20.895996°		 →
↑
1 391.43 m
↓
↑
1 391.43 m
↓
S 55.291629°
W 20.917969°		 ← 1 391.20 m →
1 936 060 m²		 S 55.291629°
W 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441925048828125 y=0.685089111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441925048828125 × 214)
    floor (0.441925048828125 × 16384)
    floor (7240.5)     		tx = 7240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685089111328125 × 214)
    floor (0.685089111328125 × 16384)
    floor (11224.5)     		ty = 11224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7240 / 11224 ti = "14/7240/11224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7240/11224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7240 ÷ 214
    7240 ÷ 16384     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11224 ÷ 214
    11224 ÷ 16384     		y = 0.68505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68505859375 × 2 - 1) × π
    -0.3701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16275743718408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16275743718408))-π/2
    2×atan(0.312622953125861)-π/2
    2×0.302996878689303-π/2
    0.605993757378607-1.57079632675     		φ = -0.96480257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96480257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.279115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7240 KachelY 11224 -0.36508743 -0.96480257 -20.917969 -55.279115
    Oben rechts KachelX + 1 7241 KachelY 11224 -0.36470393 -0.96480257 -20.895996 -55.279115
    Unten links KachelX 7240 KachelY + 1 11225 -0.36508743 -0.96502097 -20.917969 -55.291629
    Unten rechts KachelX + 1 7241 KachelY + 1 11225 -0.36470393 -0.96502097 -20.895996 -55.291629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96480257--0.96502097) × R
    0.000218399999999952 × 6371000     		dl = 1391.42639999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96480257--0.96502097) × R
    0.000218399999999952 × 6371000     		dr = 1391.42639999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36470393) × cos(-0.96480257) × R
    0.000383499999999981 × 0.569579162331506 × 6371000     		do = 1391.64052137251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36470393) × cos(-0.96502097) × R
    0.000383499999999981 × 0.569399637821557 × 6371000     		du = 1391.20189299713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96480257)-sin(-0.96502097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569579162331506-0.569399637821557)×R²
    abs(-0.36470393--0.36508743)×0.000179524509948403×R²
    0.000383499999999981×0.000179524509948403×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179524509948403×40589641000000     		ar = 1936060.20889147m²