Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7239 / 11262
↖ ↑ ↗
← S 55.751850°
W 20.939941°		 ← 1 374.99 m → S 55.751850°
W 20.917969°		 →
↑
1 374.73 m
↓
↑
1 374.73 m
↓
S 55.764213°
W 20.939941°		 ← 1 374.55 m →
1 889 944 m²		 S 55.764213°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441864013671875 y=0.687408447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441864013671875 × 214)
    floor (0.441864013671875 × 16384)
    floor (7239.5)     		tx = 7239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687408447265625 × 214)
    floor (0.687408447265625 × 16384)
    floor (11262.5)     		ty = 11262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7239 / 11262 ti = "14/7239/11262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7239/11262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7239 ÷ 214
    7239 ÷ 16384     		x = 0.44183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11262 ÷ 214
    11262 ÷ 16384     		y = 0.6873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36547092} λ = -0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17733025466858))-π/2
    2×atan(0.308100190624898)-π/2
    2×0.298871495426028-π/2
    0.597742990852056-1.57079632675     		φ = -0.97305334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97305334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.751850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7239 KachelY 11262 -0.36547092 -0.97305334 -20.939941 -55.751850
    Oben rechts KachelX + 1 7240 KachelY 11262 -0.36508743 -0.97305334 -20.917969 -55.751850
    Unten links KachelX 7239 KachelY + 1 11263 -0.36547092 -0.97326912 -20.939941 -55.764213
    Unten rechts KachelX + 1 7240 KachelY + 1 11263 -0.36508743 -0.97326912 -20.917969 -55.764213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97305334--0.97326912) × R
    0.000215779999999999 × 6371000     		dl = 1374.73437999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97305334--0.97326912) × R
    0.000215779999999999 × 6371000     		dr = 1374.73437999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36547092--0.36508743) × cos(-0.97305334) × R
    0.000383489999999986 × 0.562778243420655 × 6371000     		do = 1374.98812781552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36547092--0.36508743) × cos(-0.97326912) × R
    0.000383489999999986 × 0.562599864863911 × 6371000     		du = 1374.55231068746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97305334)-sin(-0.97326912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562778243420655-0.562599864863911)×R²
    abs(-0.36508743--0.36547092)×0.000178378556744518×R²
    0.000383489999999986×0.000178378556744518×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178378556744518×40589641000000     		ar = 1889943.89233803m²