Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7238 / 11274
↖ ↑ ↗
← S 55.899956°
W 20.961914°		 ← 1 369.80 m → S 55.899956°
W 20.939941°		 →
↑
1 369.51 m
↓
↑
1 369.51 m
↓
S 55.912273°
W 20.961914°		 ← 1 369.36 m →
1 875 655 m²		 S 55.912273°
W 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441802978515625 y=0.688140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441802978515625 × 214)
    floor (0.441802978515625 × 16384)
    floor (7238.5)     		tx = 7238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688140869140625 × 214)
    floor (0.688140869140625 × 16384)
    floor (11274.5)     		ty = 11274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7238 / 11274 ti = "14/7238/11274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7238/11274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7238 ÷ 214
    7238 ÷ 16384     		x = 0.4417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11274 ÷ 214
    11274 ÷ 16384     		y = 0.6881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1819321970321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36585442} λ = -0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1819321970321))-π/2
    2×atan(0.306685588760097)-π/2
    2×0.297579020189707-π/2
    0.595158040379414-1.57079632675     		φ = -0.97563829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97563829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.899956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7238 KachelY 11274 -0.36585442 -0.97563829 -20.961914 -55.899956
    Oben rechts KachelX + 1 7239 KachelY 11274 -0.36547092 -0.97563829 -20.939941 -55.899956
    Unten links KachelX 7238 KachelY + 1 11275 -0.36585442 -0.97585325 -20.961914 -55.912273
    Unten rechts KachelX + 1 7239 KachelY + 1 11275 -0.36547092 -0.97585325 -20.939941 -55.912273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97563829--0.97585325) × R
    0.000214959999999986 × 6371000     		dl = 1369.51015999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97563829--0.97585325) × R
    0.000214959999999986 × 6371000     		dr = 1369.51015999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36585442--0.36547092) × cos(-0.97563829) × R
    0.000383500000000037 × 0.560639625433125 × 6371000     		do = 1369.79874306894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36585442--0.36547092) × cos(-0.97585325) × R
    0.000383500000000037 × 0.56046161272382 × 6371000     		du = 1369.36380844357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97563829)-sin(-0.97585325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560639625433125-0.56046161272382)×R²
    abs(-0.36547092--0.36585442)×0.00017801270930573×R²
    0.000383500000000037×0.00017801270930573×6371000²
    0.000383500000000037×0.00017801270930573×40589641000000     		ar = 1875655.47931599m²