Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7236 / 11270
↖ ↑ ↗
← S 55.850650°
W 21.005859°		 ← 1 371.54 m → S 55.850650°
W 20.983887°		 →
↑
1 371.29 m
↓
↑
1 371.29 m
↓
S 55.862982°
W 21.005859°		 ← 1 371.10 m →
1 880 485 m²		 S 55.862982°
W 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441680908203125 y=0.687896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441680908203125 × 214)
    floor (0.441680908203125 × 16384)
    floor (7236.5)     		tx = 7236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687896728515625 × 214)
    floor (0.687896728515625 × 16384)
    floor (11270.5)     		ty = 11270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7236 / 11270 ti = "14/7236/11270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7236/11270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7236 ÷ 214
    7236 ÷ 16384     		x = 0.441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11270 ÷ 214
    11270 ÷ 16384     		y = 0.6878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18039821624426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36662141} λ = -0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18039821624426))-π/2
    2×atan(0.307156399576214)-π/2
    2×0.298009298564048-π/2
    0.596018597128095-1.57079632675     		φ = -0.97477773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97477773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.850650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7236 KachelY 11270 -0.36662141 -0.97477773 -21.005859 -55.850650
    Oben rechts KachelX + 1 7237 KachelY 11270 -0.36623791 -0.97477773 -20.983887 -55.850650
    Unten links KachelX 7236 KachelY + 1 11271 -0.36662141 -0.97499297 -21.005859 -55.862982
    Unten rechts KachelX + 1 7237 KachelY + 1 11271 -0.36623791 -0.97499297 -20.983887 -55.862982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97477773--0.97499297) × R
    0.00021523999999995 × 6371000     		dl = 1371.29403999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97477773--0.97499297) × R
    0.00021523999999995 × 6371000     		dr = 1371.29403999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36662141--0.36623791) × cos(-0.97477773) × R
    0.000383499999999981 × 0.56135201298455 × 6371000     		do = 1371.5393042568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36662141--0.36623791) × cos(-0.97499297) × R
    0.000383499999999981 × 0.561173872279749 × 6371000     		du = 1371.10405690279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97477773)-sin(-0.97499297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56135201298455-0.561173872279749)×R²
    abs(-0.36623791--0.36662141)×0.000178140704800933×R²
    0.000383499999999981×0.000178140704800933×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178140704800933×40589641000000     		ar = 1880485.25476211m²