Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7232 / 11459
↖ ↑ ↗
← S 58.112714°
W 21.093750°		 ← 1 290.66 m → S 58.112714°
W 21.071777°		 →
↑
1 290.45 m
↓
↑
1 290.45 m
↓
S 58.124319°
W 21.093750°		 ← 1 290.24 m →
1 665 258 m²		 S 58.124319°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441436767578125 y=0.699432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441436767578125 × 214)
    floor (0.441436767578125 × 16384)
    floor (7232.5)     		tx = 7232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699432373046875 × 214)
    floor (0.699432373046875 × 16384)
    floor (11459.5)     		ty = 11459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7232 / 11459 ti = "14/7232/11459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7232/11459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7232 ÷ 214
    7232 ÷ 16384     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11459 ÷ 214
    11459 ÷ 16384     		y = 0.69940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25287880846979))-π/2
    2×atan(0.285681190495649)-π/2
    2×0.278269061271345-π/2
    0.556538122542689-1.57079632675     		φ = -1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7232 KachelY 11459 -0.36815539 -1.01425820 -21.093750 -58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 7233 KachelY 11459 -0.36777189 -1.01425820 -21.071777 -58.112714
    Unten links KachelX 7232 KachelY + 1 11460 -0.36815539 -1.01446075 -21.093750 -58.124319
    Unten rechts KachelX + 1 7233 KachelY + 1 11460 -0.36777189 -1.01446075 -21.071777 -58.124319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01425820--1.01446075) × R
    0.000202550000000024 × 6371000     		dl = 1290.44605000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01425820--1.01446075) × R
    0.000202550000000024 × 6371000     		dr = 1290.44605000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.01425820) × R
    0.000383500000000037 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 1290.66169903388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.01446075) × R
    0.000383500000000037 × 0.5280779372003 × 6371000     		du = 1290.24147028597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01425820)-sin(-1.01446075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.5280779372003)×R²
    abs(-0.36777189--0.36815539)×0.000171993797641878×R²
    0.000383500000000037×0.000171993797641878×6371000²
    0.000383500000000037×0.000171993797641878×40589641000000     		ar = 1665258.1558343m²