Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7232 / 11454
↖ ↑ ↗
← S 58.054632°
W 21.093750°		 ← 1 292.76 m → S 58.054632°
W 21.071777°		 →
↑
1 292.55 m
↓
↑
1 292.55 m
↓
S 58.066256°
W 21.093750°		 ← 1 292.34 m →
1 670 688 m²		 S 58.066256°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441436767578125 y=0.699127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441436767578125 × 214)
    floor (0.441436767578125 × 16384)
    floor (7232.5)     		tx = 7232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699127197265625 × 214)
    floor (0.699127197265625 × 16384)
    floor (11454.5)     		ty = 11454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7232 / 11454 ti = "14/7232/11454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7232/11454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7232 ÷ 214
    7232 ÷ 16384     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11454 ÷ 214
    11454 ÷ 16384     		y = 0.6990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25096133248499))-π/2
    2×atan(0.286229502837609)-π/2
    2×0.278775926963494-π/2
    0.557551853926989-1.57079632675     		φ = -1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7232 KachelY 11454 -0.36815539 -1.01324447 -21.093750 -58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 7233 KachelY 11454 -0.36777189 -1.01324447 -21.071777 -58.054632
    Unten links KachelX 7232 KachelY + 1 11455 -0.36815539 -1.01344735 -21.093750 -58.066256
    Unten rechts KachelX + 1 7233 KachelY + 1 11455 -0.36777189 -1.01344735 -21.071777 -58.066256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01324447--1.01344735) × R
    0.000202880000000016 × 6371000     		dl = 1292.5484800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01324447--1.01344735) × R
    0.000202880000000016 × 6371000     		dr = 1292.5484800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.01324447) × R
    0.000383500000000037 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 1292.76407994555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.01344735) × R
    0.000383500000000037 × 0.528938241024808 × 6371000     		du = 1292.34343212386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01324447)-sin(-1.01344735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.528938241024808)×R²
    abs(-0.36777189--0.36815539)×0.000172165318727102×R²
    0.000383500000000037×0.000172165318727102×6371000²
    0.000383500000000037×0.000172165318727102×40589641000000     		ar = 1670688.39841095m²