Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7231 / 11456
↖ ↑ ↗
← S 58.077876°
W 21.115722°		 ← 1 291.89 m → S 58.077876°
W 21.093750°		 →
↑
1 291.72 m
↓
↑
1 291.72 m
↓
S 58.089493°
W 21.115722°		 ← 1 291.47 m →
1 668 488 m²		 S 58.089493°
W 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441375732421875 y=0.699249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441375732421875 × 214)
    floor (0.441375732421875 × 16384)
    floor (7231.5)     		tx = 7231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699249267578125 × 214)
    floor (0.699249267578125 × 16384)
    floor (11456.5)     		ty = 11456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7231 / 11456 ti = "14/7231/11456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7231/11456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7231 ÷ 214
    7231 ÷ 16384     		x = 0.44134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11456 ÷ 214
    11456 ÷ 16384     		y = 0.69921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36853888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69921875 × 2 - 1) × π
    -0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36853888} λ = -0.36853888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25172832287891))-π/2
    2×atan(0.286010051727681)-π/2
    2×0.278573081686758-π/2
    0.557146163373516-1.57079632675     		φ = -1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36853888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.115722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7231 KachelY 11456 -0.36853888 -1.01365016 -21.115722 -58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 7232 KachelY 11456 -0.36815539 -1.01365016 -21.093750 -58.077876
    Unten links KachelX 7231 KachelY + 1 11457 -0.36853888 -1.01385291 -21.115722 -58.089493
    Unten rechts KachelX + 1 7232 KachelY + 1 11457 -0.36815539 -1.01385291 -21.093750 -58.089493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01365016--1.01385291) × R
    0.000202749999999918 × 6371000     		dl = 1291.72024999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01365016--1.01385291) × R
    0.000202749999999918 × 6371000     		dr = 1291.72024999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36853888--0.36815539) × cos(-1.01365016) × R
    0.000383489999999986 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 1291.88918858397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36853888--0.36815539) × cos(-1.01385291) × R
    0.000383489999999986 × 0.528594014855644 × 6371000     		du = 1291.46871500074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01365016)-sin(-1.01385291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.528594014855644)×R²
    abs(-0.36815539--0.36853888)×0.000172098492914996×R²
    0.000383489999999986×0.000172098492914996×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172098492914996×40589641000000     		ar = 1668487.86424451m²