Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7230 / 11478
↖ ↑ ↗
← S 58.332567°
W 21.137695°		 ← 1 282.69 m → S 58.332567°
W 21.115722°		 →
↑
1 282.48 m
↓
↑
1 282.48 m
↓
S 58.344101°
W 21.137695°		 ← 1 282.27 m →
1 644 761 m²		 S 58.344101°
W 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441314697265625 y=0.700592041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441314697265625 × 214)
    floor (0.441314697265625 × 16384)
    floor (7230.5)     		tx = 7230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700592041015625 × 214)
    floor (0.700592041015625 × 16384)
    floor (11478.5)     		ty = 11478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7230 / 11478 ti = "14/7230/11478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7230/11478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7230 ÷ 214
    7230 ÷ 16384     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11478 ÷ 214
    11478 ÷ 16384     		y = 0.7005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.26016521721204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26016521721204))-π/2
    2×atan(0.283607165843529)-π/2
    2×0.276350484610257-π/2
    0.552700969220515-1.57079632675     		φ = -1.01809536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01809536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.332567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7230 KachelY 11478 -0.36892238 -1.01809536 -21.137695 -58.332567
    Oben rechts KachelX + 1 7231 KachelY 11478 -0.36853888 -1.01809536 -21.115722 -58.332567
    Unten links KachelX 7230 KachelY + 1 11479 -0.36892238 -1.01829666 -21.137695 -58.344101
    Unten rechts KachelX + 1 7231 KachelY + 1 11479 -0.36853888 -1.01829666 -21.115722 -58.344101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01809536--1.01829666) × R
    0.000201300000000071 × 6371000     		dl = 1282.48230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01809536--1.01829666) × R
    0.000201300000000071 × 6371000     		dr = 1282.48230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36853888) × cos(-1.01809536) × R
    0.000383499999999981 × 0.524987959998437 × 6371000     		do = 1282.69179542298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36853888) × cos(-1.01829666) × R
    0.000383499999999981 × 0.524816620989695 × 6371000     		du = 1282.27316650671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01809536)-sin(-1.01829666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524987959998437-0.524816620989695)×R²
    abs(-0.36853888--0.36892238)×0.000171339008742×R²
    0.000383499999999981×0.000171339008742×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171339008742×40589641000000     		ar = 1644761.08745246m²