Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7228 / 11467
↖ ↑ ↗
← S 58.205450°
W 21.181641°		 ← 1 287.30 m → S 58.205450°
W 21.159668°		 →
↑
1 287.13 m
↓
↑
1 287.13 m
↓
S 58.217025°
W 21.181641°		 ← 1 286.88 m →
1 656 659 m²		 S 58.217025°
W 21.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441192626953125 y=0.699920654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441192626953125 × 214)
    floor (0.441192626953125 × 16384)
    floor (7228.5)     		tx = 7228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699920654296875 × 214)
    floor (0.699920654296875 × 16384)
    floor (11467.5)     		ty = 11467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7228 / 11467 ti = "14/7228/11467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7228/11467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7228 ÷ 214
    7228 ÷ 16384     		x = 0.441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11467 ÷ 214
    11467 ÷ 16384     		y = 0.69989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.3997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25594677004547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36968937} λ = -0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25594677004547))-π/2
    2×atan(0.284806074677575)-π/2
    2×0.277459790906624-π/2
    0.554919581813249-1.57079632675     		φ = -1.01587674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01587674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.205450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7228 KachelY 11467 -0.36968937 -1.01587674 -21.181641 -58.205450
    Oben rechts KachelX + 1 7229 KachelY 11467 -0.36930587 -1.01587674 -21.159668 -58.205450
    Unten links KachelX 7228 KachelY + 1 11468 -0.36968937 -1.01607877 -21.181641 -58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 7229 KachelY + 1 11468 -0.36930587 -1.01607877 -21.159668 -58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01587674--1.01607877) × R
    0.000202030000000075 × 6371000     		dl = 1287.13313000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01587674--1.01607877) × R
    0.000202030000000075 × 6371000     		dr = 1287.13313000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36968937--0.36930587) × cos(-1.01587674) × R
    0.000383500000000037 × 0.526874955281272 × 6371000     		do = 1287.30225042732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36968937--0.36930587) × cos(-1.01607877) × R
    0.000383500000000037 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 1286.88267916629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01587674)-sin(-1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526874955281272-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.36930587--0.36968937)×0.000171724697377917×R²
    0.000383500000000037×0.000171724697377917×6371000²
    0.000383500000000037×0.000171724697377917×40589641000000     		ar = 1656659.35844911m²