Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7228 / 11211
↖ ↑ ↗
← S 55.116085°
W 21.181641°		 ← 1 397.35 m → S 55.116085°
W 21.159668°		 →
↑
1 397.10 m
↓
↑
1 397.10 m
↓
S 55.128649°
W 21.181641°		 ← 1 396.91 m →
1 951 925 m²		 S 55.128649°
W 21.159668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441192626953125 y=0.684295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441192626953125 × 214)
    floor (0.441192626953125 × 16384)
    floor (7228.5)     		tx = 7228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684295654296875 × 214)
    floor (0.684295654296875 × 16384)
    floor (11211.5)     		ty = 11211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7228 / 11211 ti = "14/7228/11211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7228/11211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7228 ÷ 214
    7228 ÷ 16384     		x = 0.441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11211 ÷ 214
    11211 ÷ 16384     		y = 0.68426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3685302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1577719996236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36968937} λ = -0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1577719996236))-π/2
    2×atan(0.314185406860234)-π/2
    2×0.304419590392714-π/2
    0.608839180785428-1.57079632675     		φ = -0.96195715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96195715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.116085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7228 KachelY 11211 -0.36968937 -0.96195715 -21.181641 -55.116085
    Oben rechts KachelX + 1 7229 KachelY 11211 -0.36930587 -0.96195715 -21.159668 -55.116085
    Unten links KachelX 7228 KachelY + 1 11212 -0.36968937 -0.96217644 -21.181641 -55.128649
    Unten rechts KachelX + 1 7229 KachelY + 1 11212 -0.36930587 -0.96217644 -21.159668 -55.128649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96195715--0.96217644) × R
    0.000219289999999983 × 6371000     		dl = 1397.09658999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96195715--0.96217644) × R
    0.000219289999999983 × 6371000     		dr = 1397.09658999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36968937--0.36930587) × cos(-0.96195715) × R
    0.000383500000000037 × 0.571915607902615 × 6371000     		do = 1397.34910860302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36968937--0.36930587) × cos(-0.96217644) × R
    0.000383500000000037 × 0.571735707832812 × 6371000     		du = 1396.90956263033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96195715)-sin(-0.96217644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571915607902615-0.571735707832812)×R²
    abs(-0.36930587--0.36968937)×0.000179900069802841×R²
    0.000383500000000037×0.000179900069802841×6371000²
    0.000383500000000037×0.000179900069802841×40589641000000     		ar = 1951924.6384019m²