Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7226 / 11127
↖ ↑ ↗
← S 54.046489°
W 21.225586°		 ← 1 434.48 m → S 54.046489°
W 21.203614°		 →
↑
1 434.30 m
↓
↑
1 434.30 m
↓
S 54.059388°
W 21.225586°		 ← 1 434.04 m →
2 057 162 m²		 S 54.059388°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441070556640625 y=0.679168701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441070556640625 × 214)
    floor (0.441070556640625 × 16384)
    floor (7226.5)     		tx = 7226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679168701171875 × 214)
    floor (0.679168701171875 × 16384)
    floor (11127.5)     		ty = 11127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7226 / 11127 ti = "14/7226/11127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7226/11127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7226 ÷ 214
    7226 ÷ 16384     		x = 0.4410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11127 ÷ 214
    11127 ÷ 16384     		y = 0.67913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.3582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37045636} λ = -0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12555840307892))-π/2
    2×atan(0.32447123102717)-π/2
    2×0.313753571321228-π/2
    0.627507142642456-1.57079632675     		φ = -0.94328918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94328918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.046489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7226 KachelY 11127 -0.37045636 -0.94328918 -21.225586 -54.046489
    Oben rechts KachelX + 1 7227 KachelY 11127 -0.37007287 -0.94328918 -21.203614 -54.046489
    Unten links KachelX 7226 KachelY + 1 11128 -0.37045636 -0.94351431 -21.225586 -54.059388
    Unten rechts KachelX + 1 7227 KachelY + 1 11128 -0.37007287 -0.94351431 -21.203614 -54.059388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94328918--0.94351431) × R
    0.000225130000000018 × 6371000     		dl = 1434.30323000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94328918--0.94351431) × R
    0.000225130000000018 × 6371000     		dr = 1434.30323000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37045636--0.37007287) × cos(-0.94328918) × R
    0.000383489999999986 × 0.58712863549938 × 6371000     		do = 1434.48136588455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37045636--0.37007287) × cos(-0.94351431) × R
    0.000383489999999986 × 0.586946379317181 × 6371000     		du = 1434.03607488464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94328918)-sin(-0.94351431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58712863549938-0.586946379317181)×R²
    abs(-0.37007287--0.37045636)×0.000182256182198914×R²
    0.000383489999999986×0.000182256182198914×6371000²
    0.000383489999999986×0.000182256182198914×40589641000000     		ar = 2057161.92399188m²