Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7223 / 11275
↖ ↑ ↗
← S 55.912273°
W 21.291504°		 ← 1 369.36 m → S 55.912273°
W 21.269531°		 →
↑
1 369.19 m
↓
↑
1 369.19 m
↓
S 55.924586°
W 21.291504°		 ← 1 368.93 m →
1 874 624 m²		 S 55.924586°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440887451171875 y=0.688201904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440887451171875 × 214)
    floor (0.440887451171875 × 16384)
    floor (7223.5)     		tx = 7223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688201904296875 × 214)
    floor (0.688201904296875 × 16384)
    floor (11275.5)     		ty = 11275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7223 / 11275 ti = "14/7223/11275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7223/11275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7223 ÷ 214
    7223 ÷ 16384     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11275 ÷ 214
    11275 ÷ 16384     		y = 0.68817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3763427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18231569222906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18231569222906))-π/2
    2×atan(0.306567998858852)-π/2
    2×0.297471535955265-π/2
    0.594943071910529-1.57079632675     		φ = -0.97585325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97585325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.912273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7223 KachelY 11275 -0.37160685 -0.97585325 -21.291504 -55.912273
    Oben rechts KachelX + 1 7224 KachelY 11275 -0.37122335 -0.97585325 -21.269531 -55.912273
    Unten links KachelX 7223 KachelY + 1 11276 -0.37160685 -0.97606816 -21.291504 -55.924586
    Unten rechts KachelX + 1 7224 KachelY + 1 11276 -0.37122335 -0.97606816 -21.269531 -55.924586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97585325--0.97606816) × R
    0.000214909999999957 × 6371000     		dl = 1369.19160999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97585325--0.97606816) × R
    0.000214909999999957 × 6371000     		dr = 1369.19160999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37122335) × cos(-0.97585325) × R
    0.000383499999999981 × 0.56046161272382 × 6371000     		do = 1369.36380844337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37122335) × cos(-0.97606816) × R
    0.000383499999999981 × 0.560283615531857 × 6371000     		du = 1368.92891173119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97585325)-sin(-0.97606816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56046161272382-0.560283615531857)×R²
    abs(-0.37122335--0.37160685)×0.000177997191962209×R²
    0.000383499999999981×0.000177997191962209×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177997191962209×40589641000000     		ar = 1874623.716309m²