Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7222 / 11286
↖ ↑ ↗
← S 56.047500°
W 21.313477°		 ← 1 364.55 m → S 56.047500°
W 21.291504°		 →
↑
1 364.35 m
↓
↑
1 364.35 m
↓
S 56.059770°
W 21.313477°		 ← 1 364.11 m →
1 861 425 m²		 S 56.059770°
W 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440826416015625 y=0.688873291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440826416015625 × 214)
    floor (0.440826416015625 × 16384)
    floor (7222.5)     		tx = 7222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688873291015625 × 214)
    floor (0.688873291015625 × 16384)
    floor (11286.5)     		ty = 11286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7222 / 11286 ti = "14/7222/11286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7222/11286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7222 ÷ 214
    7222 ÷ 16384     		x = 0.4407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11286 ÷ 214
    11286 ÷ 16384     		y = 0.6888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37199034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37199034} λ = -0.37199034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18653413939563))-π/2
    2×atan(0.305277481855366)-π/2
    2×0.296291460787561-π/2
    0.592582921575122-1.57079632675     		φ = -0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37199034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7222 KachelY 11286 -0.37199034 -0.97821341 -21.313477 -56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 7223 KachelY 11286 -0.37160685 -0.97821341 -21.291504 -56.047500
    Unten links KachelX 7222 KachelY + 1 11287 -0.37199034 -0.97842756 -21.313477 -56.059770
    Unten rechts KachelX + 1 7223 KachelY + 1 11287 -0.37160685 -0.97842756 -21.291504 -56.059770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97821341--0.97842756) × R
    0.000214150000000024 × 6371000     		dl = 1364.34965000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97821341--0.97842756) × R
    0.000214150000000024 × 6371000     		dr = 1364.34965000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37199034--0.37160685) × cos(-0.97821341) × R
    0.000383489999999986 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 1364.54869093906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37199034--0.37160685) × cos(-0.97842756) × R
    0.000383489999999986 × 0.55832776487552 × 6371000     		du = 1364.11465281147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97821341)-sin(-0.97842756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.55832776487552)×R²
    abs(-0.37160685--0.37199034)×0.000177650417545361×R²
    0.000383489999999986×0.000177650417545361×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177650417545361×40589641000000     		ar = 1861425.44611971m²