Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7215 / 11283
↖ ↑ ↗
← S 56.010667°
W 21.467285°		 ← 1 365.89 m → S 56.010667°
W 21.445312°		 →
↑
1 365.62 m
↓
↑
1 365.62 m
↓
S 56.022948°
W 21.467285°		 ← 1 365.45 m →
1 864 991 m²		 S 56.022948°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440399169921875 y=0.688690185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440399169921875 × 214)
    floor (0.440399169921875 × 16384)
    floor (7215.5)     		tx = 7215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688690185546875 × 214)
    floor (0.688690185546875 × 16384)
    floor (11283.5)     		ty = 11283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7215 / 11283 ti = "14/7215/11283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7215/11283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7215 ÷ 214
    7215 ÷ 16384     		x = 0.44036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11283 ÷ 214
    11283 ÷ 16384     		y = 0.68865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37467481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.3773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18538365380475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37467481} λ = -0.37467481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18538365380475))-π/2
    2×atan(0.305628901312209)-π/2
    2×0.296612890334422-π/2
    0.593225780668845-1.57079632675     		φ = -0.97757055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37467481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97757055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.010667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7215 KachelY 11283 -0.37467481 -0.97757055 -21.467285 -56.010667
    Oben rechts KachelX + 1 7216 KachelY 11283 -0.37429131 -0.97757055 -21.445312 -56.010667
    Unten links KachelX 7215 KachelY + 1 11284 -0.37467481 -0.97778490 -21.467285 -56.022948
    Unten rechts KachelX + 1 7216 KachelY + 1 11284 -0.37429131 -0.97778490 -21.445312 -56.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97757055--0.97778490) × R
    0.000214349999999919 × 6371000     		dl = 1365.62384999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97757055--0.97778490) × R
    0.000214349999999919 × 6371000     		dr = 1365.62384999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37467481--0.37429131) × cos(-0.97757055) × R
    0.000383500000000037 × 0.559038552782153 × 6371000     		do = 1365.88687668388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37467481--0.37429131) × cos(-0.97778490) × R
    0.000383500000000037 × 0.558860813425385 × 6371000     		du = 1365.45260993488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97757055)-sin(-0.97778490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559038552782153-0.558860813425385)×R²
    abs(-0.37429131--0.37467481)×0.000177739356768125×R²
    0.000383500000000037×0.000177739356768125×6371000²
    0.000383500000000037×0.000177739356768125×40589641000000     		ar = 1864991.17982678m²