Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7196 / 11213
↖ ↑ ↗
← S 55.141210°
W 21.884766°		 ← 1 396.47 m → S 55.141210°
W 21.862793°		 →
↑
1 396.27 m
↓
↑
1 396.27 m
↓
S 55.153766°
W 21.884766°		 ← 1 396.03 m →
1 949 540 m²		 S 55.153766°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439239501953125 y=0.684417724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439239501953125 × 214)
    floor (0.439239501953125 × 16384)
    floor (7196.5)     		tx = 7196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684417724609375 × 214)
    floor (0.684417724609375 × 16384)
    floor (11213.5)     		ty = 11213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7196 / 11213 ti = "14/7196/11213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7196/11213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7196 ÷ 214
    7196 ÷ 16384     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11213 ÷ 214
    11213 ÷ 16384     		y = 0.68438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.3687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15853899001752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15853899001752))-π/2
    2×atan(0.313944522061235)-π/2
    2×0.304200332492466-π/2
    0.608400664984932-1.57079632675     		φ = -0.96239566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96239566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.141210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7196 KachelY 11213 -0.38196122 -0.96239566 -21.884766 -55.141210
    Oben rechts KachelX + 1 7197 KachelY 11213 -0.38157772 -0.96239566 -21.862793 -55.141210
    Unten links KachelX 7196 KachelY + 1 11214 -0.38196122 -0.96261482 -21.884766 -55.153766
    Unten rechts KachelX + 1 7197 KachelY + 1 11214 -0.38157772 -0.96261482 -21.862793 -55.153766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96239566--0.96261482) × R
    0.000219159999999996 × 6371000     		dl = 1396.26835999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96239566--0.96261482) × R
    0.000219159999999996 × 6371000     		dr = 1396.26835999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38157772) × cos(-0.96239566) × R
    0.000383499999999981 × 0.571555837708747 × 6371000     		do = 1396.4700898232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38157772) × cos(-0.96261482) × R
    0.000383499999999981 × 0.571375989358495 × 6371000     		du = 1396.03067021577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96239566)-sin(-0.96261482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571555837708747-0.571375989358495)×R²
    abs(-0.38157772--0.38196122)×0.000179848350251532×R²
    0.000383499999999981×0.000179848350251532×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179848350251532×40589641000000     		ar = 1949540.23606131m²