Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7181 / 11301
↖ ↑ ↗
← S 56.231139°
W 22.214355°		 ← 1 358.05 m → S 56.231139°
W 22.192383°		 →
↑
1 357.85 m
↓
↑
1 357.85 m
↓
S 56.243350°
W 22.214355°		 ← 1 357.61 m →
1 843 731 m²		 S 56.243350°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438323974609375 y=0.689788818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438323974609375 × 214)
    floor (0.438323974609375 × 16384)
    floor (7181.5)     		tx = 7181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689788818359375 × 214)
    floor (0.689788818359375 × 16384)
    floor (11301.5)     		ty = 11301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7181 / 11301 ti = "14/7181/11301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7181/11301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7181 ÷ 214
    7181 ÷ 16384     		x = 0.43829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11301 ÷ 214
    11301 ÷ 16384     		y = 0.68975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38771364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19228656735004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38771364} λ = -0.38771364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19228656735004))-π/2
    2×atan(0.303526436345029)-π/2
    2×0.294688908892165-π/2
    0.589377817784329-1.57079632675     		φ = -0.98141851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38771364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98141851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.231139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7181 KachelY 11301 -0.38771364 -0.98141851 -22.214355 -56.231139
    Oben rechts KachelX + 1 7182 KachelY 11301 -0.38733015 -0.98141851 -22.192383 -56.231139
    Unten links KachelX 7181 KachelY + 1 11302 -0.38771364 -0.98163164 -22.214355 -56.243350
    Unten rechts KachelX + 1 7182 KachelY + 1 11302 -0.38733015 -0.98163164 -22.192383 -56.243350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98141851--0.98163164) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dl = 1357.85123000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98141851--0.98163164) × R
    0.000213130000000006 × 6371000     		dr = 1357.85123000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38771364--0.38733015) × cos(-0.98141851) × R
    0.000383490000000042 × 0.555843917924172 × 6371000     		do = 1358.04608120403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38771364--0.38733015) × cos(-0.98163164) × R
    0.000383490000000042 × 0.555666733171665 × 6371000     		du = 1357.61318079614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98141851)-sin(-0.98163164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555843917924172-0.555666733171665)×R²
    abs(-0.38733015--0.38771364)×0.000177184752507165×R²
    0.000383490000000042×0.000177184752507165×6371000²
    0.000383490000000042×0.000177184752507165×40589641000000     		ar = 1843730.64156395m²