Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7167 / 11312
↖ ↑ ↗
← S 56.365250°
W 22.521973°		 ← 1 353.32 m → S 56.365250°
W 22.500000°		 →
↑
1 353.07 m
↓
↑
1 353.07 m
↓
S 56.377419°
W 22.521973°		 ← 1 352.89 m →
1 830 853 m²		 S 56.377419°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437469482421875 y=0.690460205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437469482421875 × 214)
    floor (0.437469482421875 × 16384)
    floor (7167.5)     		tx = 7167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690460205078125 × 214)
    floor (0.690460205078125 × 16384)
    floor (11312.5)     		ty = 11312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7167 / 11312 ti = "14/7167/11312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7167/11312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7167 ÷ 214
    7167 ÷ 16384     		x = 0.43743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11312 ÷ 214
    11312 ÷ 16384     		y = 0.6904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39308258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    -0.380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39308258} λ = -0.39308258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1965050145166))-π/2
    2×atan(0.302248722987572)-π/2
    2×0.293518564107758-π/2
    0.587037128215516-1.57079632675     		φ = -0.98375920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39308258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98375920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.365250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7167 KachelY 11312 -0.39308258 -0.98375920 -22.521973 -56.365250
    Oben rechts KachelX + 1 7168 KachelY 11312 -0.39269908 -0.98375920 -22.500000 -56.365250
    Unten links KachelX 7167 KachelY + 1 11313 -0.39308258 -0.98397158 -22.521973 -56.377419
    Unten rechts KachelX + 1 7168 KachelY + 1 11313 -0.39269908 -0.98397158 -22.500000 -56.377419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98375920--0.98397158) × R
    0.000212380000000012 × 6371000     		dl = 1353.07298000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98375920--0.98397158) × R
    0.000212380000000012 × 6371000     		dr = 1353.07298000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39308258--0.39269908) × cos(-0.98375920) × R
    0.000383500000000037 × 0.553896612603209 × 6371000     		do = 1353.32368479638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39308258--0.39269908) × cos(-0.98397158) × R
    0.000383500000000037 × 0.553719775613438 × 6371000     		du = 1352.89162278127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98375920)-sin(-0.98397158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553896612603209-0.553719775613438)×R²
    abs(-0.39269908--0.39308258)×0.000176836989770557×R²
    0.000383500000000037×0.000176836989770557×6371000²
    0.000383500000000037×0.000176836989770557×40589641000000     		ar = 1830853.41225531m²