Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7164 / 11316
↖ ↑ ↗
← S 56.413901°
W 22.587890°		 ← 1 351.56 m → S 56.413901°
W 22.565918°		 →
↑
1 351.35 m
↓
↑
1 351.35 m
↓
S 56.426054°
W 22.587890°		 ← 1 351.13 m →
1 826 144 m²		 S 56.426054°
W 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437286376953125 y=0.690704345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437286376953125 × 214)
    floor (0.437286376953125 × 16384)
    floor (7164.5)     		tx = 7164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690704345703125 × 214)
    floor (0.690704345703125 × 16384)
    floor (11316.5)     		ty = 11316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7164 / 11316 ti = "14/7164/11316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7164/11316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7164 ÷ 214
    7164 ÷ 16384     		x = 0.437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11316 ÷ 214
    11316 ÷ 16384     		y = 0.690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39423306} λ = -0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19803899530444))-π/2
    2×atan(0.301785434681886)-π/2
    2×0.293094001953581-π/2
    0.586188003907162-1.57079632675     		φ = -0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7164 KachelY 11316 -0.39423306 -0.98460832 -22.587890 -56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 7165 KachelY 11316 -0.39384957 -0.98460832 -22.565918 -56.413901
    Unten links KachelX 7164 KachelY + 1 11317 -0.39423306 -0.98482043 -22.587890 -56.426054
    Unten rechts KachelX + 1 7165 KachelY + 1 11317 -0.39384957 -0.98482043 -22.565918 -56.426054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98460832--0.98482043) × R
    0.000212109999999988 × 6371000     		dl = 1351.35280999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98460832--0.98482043) × R
    0.000212109999999988 × 6371000     		dr = 1351.35280999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39423306--0.39384957) × cos(-0.98460832) × R
    0.000383490000000042 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 1351.56064113371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39423306--0.39384957) × cos(-0.98482043) × R
    0.000383490000000042 × 0.553012736203267 × 6371000     		du = 1351.12889615034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98460832)-sin(-0.98482043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553012736203267)×R²
    abs(-0.39384957--0.39423306)×0.000176711840945698×R²
    0.000383490000000042×0.000176711840945698×6371000²
    0.000383490000000042×0.000176711840945698×40589641000000     		ar = 1826143.5572303m²