Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7154 / 11331
↖ ↑ ↗
← S 56.595791°
W 22.807617°		 ← 1 345.09 m → S 56.595791°
W 22.785645°		 →
↑
1 344.85 m
↓
↑
1 344.85 m
↓
S 56.607885°
W 22.807617°		 ← 1 344.66 m →
1 808 664 m²		 S 56.607885°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436676025390625 y=0.691619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436676025390625 × 214)
    floor (0.436676025390625 × 16384)
    floor (7154.5)     		tx = 7154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691619873046875 × 214)
    floor (0.691619873046875 × 16384)
    floor (11331.5)     		ty = 11331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7154 / 11331 ti = "14/7154/11331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7154/11331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7154 ÷ 214
    7154 ÷ 16384     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11331 ÷ 214
    11331 ÷ 16384     		y = 0.69158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20379142325885))-π/2
    2×atan(0.300054419255288)-π/2
    2×0.29150671965234-π/2
    0.58301343930468-1.57079632675     		φ = -0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7154 KachelY 11331 -0.39806801 -0.98778289 -22.807617 -56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 7155 KachelY 11331 -0.39768452 -0.98778289 -22.785645 -56.595791
    Unten links KachelX 7154 KachelY + 1 11332 -0.39806801 -0.98799398 -22.807617 -56.607885
    Unten rechts KachelX + 1 7155 KachelY + 1 11332 -0.39768452 -0.98799398 -22.785645 -56.607885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98778289--0.98799398) × R
    0.00021109000000008 × 6371000     		dl = 1344.85439000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98778289--0.98799398) × R
    0.00021109000000008 × 6371000     		dr = 1344.85439000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39768452) × cos(-0.98778289) × R
    0.000383490000000042 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 1345.09253296813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39768452) × cos(-0.98799398) × R
    0.000383490000000042 × 0.550365840294863 × 6371000     		du = 1344.66196091933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98778289)-sin(-0.98799398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.550365840294863)×R²
    abs(-0.39768452--0.39806801)×0.00017623176257664×R²
    0.000383490000000042×0.00017623176257664×6371000²
    0.000383490000000042×0.00017623176257664×40589641000000     		ar = 1808664.07628105m²