Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7147 / 11307
↖ ↑ ↗
← S 56.304349°
W 22.961426°		 ← 1 355.45 m → S 56.304349°
W 22.939453°		 →
↑
1 355.24 m
↓
↑
1 355.24 m
↓
S 56.316537°
W 22.961426°		 ← 1 355.02 m →
1 836 666 m²		 S 56.316537°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436248779296875 y=0.690155029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436248779296875 × 214)
    floor (0.436248779296875 × 16384)
    floor (7147.5)     		tx = 7147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690155029296875 × 214)
    floor (0.690155029296875 × 16384)
    floor (11307.5)     		ty = 11307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7147 / 11307 ti = "14/7147/11307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7147/11307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7147 ÷ 214
    7147 ÷ 16384     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11307 ÷ 214
    11307 ÷ 16384     		y = 0.69012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1945875385318))-π/2
    2×atan(0.302828833651729)-π/2
    2×0.29405002985502-π/2
    0.58810005971004-1.57079632675     		φ = -0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7147 KachelY 11307 -0.40075248 -0.98269627 -22.961426 -56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 7148 KachelY 11307 -0.40036899 -0.98269627 -22.939453 -56.304349
    Unten links KachelX 7147 KachelY + 1 11308 -0.40075248 -0.98290899 -22.961426 -56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 7148 KachelY + 1 11308 -0.40036899 -0.98290899 -22.939453 -56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98269627--0.98290899) × R
    0.000212719999999944 × 6371000     		dl = 1355.23911999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98269627--0.98290899) × R
    0.000212719999999944 × 6371000     		dr = 1355.23911999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40036899) × cos(-0.98269627) × R
    0.000383490000000042 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 1355.44982751981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40036899) × cos(-0.98290899) × R
    0.000383490000000042 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 1355.01739123301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98269627)-sin(-0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554604284804963)×R²
    abs(-0.40036899--0.40075248)×0.000176994789230389×R²
    0.000383490000000042×0.000176994789230389×6371000²
    0.000383490000000042×0.000176994789230389×40589641000000     		ar = 1836665.61109157m²