Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7141 / 11239
↖ ↑ ↗
← S 55.466399°
W 23.093262°		 ← 1 385.03 m → S 55.466399°
W 23.071289°		 →
↑
1 384.86 m
↓
↑
1 384.86 m
↓
S 55.478854°
W 23.093262°		 ← 1 384.60 m →
1 917 779 m²		 S 55.478854°
W 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435882568359375 y=0.686004638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435882568359375 × 214)
    floor (0.435882568359375 × 16384)
    floor (7141.5)     		tx = 7141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686004638671875 × 214)
    floor (0.686004638671875 × 16384)
    floor (11239.5)     		ty = 11239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7141 / 11239 ti = "14/7141/11239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7141/11239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7141 ÷ 214
    7141 ÷ 16384     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11239 ÷ 214
    11239 ÷ 16384     		y = 0.68597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16850986513849))-π/2
    2×atan(0.310829774620941)-π/2
    2×0.30136251684351-π/2
    0.60272503368702-1.57079632675     		φ = -0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7141 KachelY 11239 -0.40305345 -0.96807129 -23.093262 -55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 7142 KachelY 11239 -0.40266996 -0.96807129 -23.071289 -55.466399
    Unten links KachelX 7141 KachelY + 1 11240 -0.40305345 -0.96828866 -23.093262 -55.478854
    Unten rechts KachelX + 1 7142 KachelY + 1 11240 -0.40266996 -0.96828866 -23.071289 -55.478854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96807129--0.96828866) × R
    0.000217369999999995 × 6371000     		dl = 1384.86426999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96807129--0.96828866) × R
    0.000217369999999995 × 6371000     		dr = 1384.86426999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40266996) × cos(-0.96807129) × R
    0.000383489999999986 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 1385.03267403033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40266996) × cos(-0.96828866) × R
    0.000383489999999986 × 0.566710362596155 × 6371000     		du = 1384.59513954114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96807129)-sin(-0.96828866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.566710362596155)×R²
    abs(-0.40266996--0.40305345)×0.000179081467164166×R²
    0.000383489999999986×0.000179081467164166×6371000²
    0.000383489999999986×0.000179081467164166×40589641000000     		ar = 1917779.30765846m²