Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7140 / 11237
↖ ↑ ↗
← S 55.441480°
W 23.115235°		 ← 1 385.94 m → S 55.441480°
W 23.093262°		 →
↑
1 385.69 m
↓
↑
1 385.69 m
↓
S 55.453941°
W 23.115235°		 ← 1 385.51 m →
1 920 189 m²		 S 55.453941°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435821533203125 y=0.685882568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435821533203125 × 214)
    floor (0.435821533203125 × 16384)
    floor (7140.5)     		tx = 7140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685882568359375 × 214)
    floor (0.685882568359375 × 16384)
    floor (11237.5)     		ty = 11237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7140 / 11237 ti = "14/7140/11237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7140/11237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7140 ÷ 214
    7140 ÷ 16384     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11237 ÷ 214
    11237 ÷ 16384     		y = 0.68585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16774287474457))-π/2
    2×atan(0.311068269522177)-π/2
    2×0.301579984910174-π/2
    0.603159969820349-1.57079632675     		φ = -0.96763636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96763636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.441480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7140 KachelY 11237 -0.40343695 -0.96763636 -23.115235 -55.441480
    Oben rechts KachelX + 1 7141 KachelY 11237 -0.40305345 -0.96763636 -23.093262 -55.441480
    Unten links KachelX 7140 KachelY + 1 11238 -0.40343695 -0.96785386 -23.115235 -55.453941
    Unten rechts KachelX + 1 7141 KachelY + 1 11238 -0.40305345 -0.96785386 -23.093262 -55.453941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96763636--0.96785386) × R
    0.000217499999999982 × 6371000     		dl = 1385.69249999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96763636--0.96785386) × R
    0.000217499999999982 × 6371000     		dr = 1385.69249999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40305345) × cos(-0.96763636) × R
    0.000383500000000037 × 0.567247683107078 × 6371000     		do = 1385.94406831047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40305345) × cos(-0.96785386) × R
    0.000383500000000037 × 0.567068548165355 × 6371000     		du = 1385.50639175876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96763636)-sin(-0.96785386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567247683107078-0.567068548165355)×R²
    abs(-0.40305345--0.40343695)×0.000179134941722281×R²
    0.000383500000000037×0.000179134941722281×6371000²
    0.000383500000000037×0.000179134941722281×40589641000000     		ar = 1920189.06588895m²