Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7140 / 11236
↖ ↑ ↗
← S 55.429014°
W 23.115235°		 ← 1 386.38 m → S 55.429014°
W 23.093262°		 →
↑
1 386.14 m
↓
↑
1 386.14 m
↓
S 55.441480°
W 23.115235°		 ← 1 385.94 m →
1 921 414 m²		 S 55.441480°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435821533203125 y=0.685821533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435821533203125 × 214)
    floor (0.435821533203125 × 16384)
    floor (7140.5)     		tx = 7140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685821533203125 × 214)
    floor (0.685821533203125 × 16384)
    floor (11236.5)     		ty = 11236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7140 / 11236 ti = "14/7140/11236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7140/11236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7140 ÷ 214
    7140 ÷ 16384     		x = 0.435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11236 ÷ 214
    11236 ÷ 16384     		y = 0.685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.37158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16735937954761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40343695} λ = -0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16735937954761))-π/2
    2×atan(0.311187585586572)-π/2
    2×0.301688770468545-π/2
    0.603377540937091-1.57079632675     		φ = -0.96741879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96741879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.429014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7140 KachelY 11236 -0.40343695 -0.96741879 -23.115235 -55.429014
    Oben rechts KachelX + 1 7141 KachelY 11236 -0.40305345 -0.96741879 -23.093262 -55.429014
    Unten links KachelX 7140 KachelY + 1 11237 -0.40343695 -0.96763636 -23.115235 -55.441480
    Unten rechts KachelX + 1 7141 KachelY + 1 11237 -0.40305345 -0.96763636 -23.093262 -55.441480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96741879--0.96763636) × R
    0.00021757 × 6371000     		dl = 1386.13847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96741879--0.96763636) × R
    0.00021757 × 6371000     		dr = 1386.13847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40343695--0.40305345) × cos(-0.96741879) × R
    0.000383500000000037 × 0.567426848854107 × 6371000     		do = 1386.38182012812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40343695--0.40305345) × cos(-0.96763636) × R
    0.000383500000000037 × 0.567247683107078 × 6371000     		du = 1385.94406831047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96741879)-sin(-0.96763636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567426848854107-0.567247683107078)×R²
    abs(-0.40305345--0.40343695)×0.000179165747029808×R²
    0.000383500000000037×0.000179165747029808×6371000²
    0.000383500000000037×0.000179165747029808×40589641000000     		ar = 1921413.79025132m²