Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7138 / 11234
↖ ↑ ↗
← S 55.404070°
W 23.159180°		 ← 1 387.26 m → S 55.404070°
W 23.137207°		 →
↑
1 387.03 m
↓
↑
1 387.03 m
↓
S 55.416544°
W 23.159180°		 ← 1 386.82 m →
1 923 865 m²		 S 55.416544°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435699462890625 y=0.685699462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435699462890625 × 214)
    floor (0.435699462890625 × 16384)
    floor (7138.5)     		tx = 7138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685699462890625 × 214)
    floor (0.685699462890625 × 16384)
    floor (11234.5)     		ty = 11234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7138 / 11234 ti = "14/7138/11234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7138/11234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7138 ÷ 214
    7138 ÷ 16384     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11234 ÷ 214
    11234 ÷ 16384     		y = 0.6856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16659238915369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16659238915369))-π/2
    2×atan(0.311426355030654)-π/2
    2×0.301906444663864-π/2
    0.603812889327727-1.57079632675     		φ = -0.96698344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96698344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.404070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7138 KachelY 11234 -0.40420394 -0.96698344 -23.159180 -55.404070
    Oben rechts KachelX + 1 7139 KachelY 11234 -0.40382044 -0.96698344 -23.137207 -55.404070
    Unten links KachelX 7138 KachelY + 1 11235 -0.40420394 -0.96720115 -23.159180 -55.416544
    Unten rechts KachelX + 1 7139 KachelY + 1 11235 -0.40382044 -0.96720115 -23.137207 -55.416544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96698344--0.96720115) × R
    0.000217709999999927 × 6371000     		dl = 1387.03040999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96698344--0.96720115) × R
    0.000217709999999927 × 6371000     		dr = 1387.03040999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(-0.96698344) × R
    0.000383499999999981 × 0.567785272626456 × 6371000     		do = 1387.25754922479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(-0.96720115) × R
    0.000383499999999981 × 0.567606045372042 × 6371000     		du = 1386.81964712747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96698344)-sin(-0.96720115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567785272626456-0.567606045372042)×R²
    abs(-0.40382044--0.40420394)×0.00017922725441355×R²
    0.000383499999999981×0.00017922725441355×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017922725441355×40589641000000     		ar = 1923864.72311194m²