Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7137 / 11359
↖ ↑ ↗
← S 56.932987°
W 23.181152°		 ← 1 333.07 m → S 56.932987°
W 23.159180°		 →
↑
1 332.88 m
↓
↑
1 332.88 m
↓
S 56.944974°
W 23.181152°		 ← 1 332.64 m →
1 776 527 m²		 S 56.944974°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435638427734375 y=0.693328857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435638427734375 × 214)
    floor (0.435638427734375 × 16384)
    floor (7137.5)     		tx = 7137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693328857421875 × 214)
    floor (0.693328857421875 × 16384)
    floor (11359.5)     		ty = 11359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7137 / 11359 ti = "14/7137/11359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7137/11359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7137 ÷ 214
    7137 ÷ 16384     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11359 ÷ 214
    11359 ÷ 16384     		y = 0.69329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.3865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21452928877374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21452928877374))-π/2
    2×atan(0.296849711904754)-π/2
    2×0.288564121877755-π/2
    0.577128243755511-1.57079632675     		φ = -0.99366808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99366808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.932987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7137 KachelY 11359 -0.40458743 -0.99366808 -23.181152 -56.932987
    Oben rechts KachelX + 1 7138 KachelY 11359 -0.40420394 -0.99366808 -23.159180 -56.932987
    Unten links KachelX 7137 KachelY + 1 11360 -0.40458743 -0.99387729 -23.181152 -56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 7138 KachelY + 1 11360 -0.40420394 -0.99387729 -23.159180 -56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99366808--0.99387729) × R
    0.000209210000000071 × 6371000     		dl = 1332.87691000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99366808--0.99387729) × R
    0.000209210000000071 × 6371000     		dr = 1332.87691000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(-0.99366808) × R
    0.000383490000000042 × 0.545619566031759 × 6371000     		do = 1333.06579344232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(-0.99387729) × R
    0.000383490000000042 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 1332.63740792869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99366808)-sin(-0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545619566031759-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.40420394--0.40458743)×0.000175336820727234×R²
    0.000383490000000042×0.000175336820727234×6371000²
    0.000383490000000042×0.000175336820727234×40589641000000     		ar = 1776527.1294905m²