Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7135 / 11361
↖ ↑ ↗
← S 56.956957°
W 23.225097°		 ← 1 332.21 m → S 56.956957°
W 23.203125°		 →
↑
1 332.05 m
↓
↑
1 332.05 m
↓
S 56.968936°
W 23.225097°		 ← 1 331.78 m →
1 774 282 m²		 S 56.968936°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435516357421875 y=0.693450927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435516357421875 × 214)
    floor (0.435516357421875 × 16384)
    floor (7135.5)     		tx = 7135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693450927734375 × 214)
    floor (0.693450927734375 × 16384)
    floor (11361.5)     		ty = 11361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7135 / 11361 ti = "14/7135/11361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7135/11361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7135 ÷ 214
    7135 ÷ 16384     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11361 ÷ 214
    11361 ÷ 16384     		y = 0.69342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.3868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.21529627916766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21529627916766))-π/2
    2×atan(0.296622118319489)-π/2
    2×0.288354946634177-π/2
    0.576709893268355-1.57079632675     		φ = -0.99408643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99408643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.956957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7135 KachelY 11361 -0.40535442 -0.99408643 -23.225097 -56.956957
    Oben rechts KachelX + 1 7136 KachelY 11361 -0.40497093 -0.99408643 -23.203125 -56.956957
    Unten links KachelX 7135 KachelY + 1 11362 -0.40535442 -0.99429551 -23.225097 -56.968936
    Unten rechts KachelX + 1 7136 KachelY + 1 11362 -0.40497093 -0.99429551 -23.203125 -56.968936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99408643--0.99429551) × R
    0.000209080000000084 × 6371000     		dl = 1332.04868000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99408643--0.99429551) × R
    0.000209080000000084 × 6371000     		dr = 1332.04868000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(-0.99408643) × R
    0.000383489999999986 × 0.545268927195135 × 6371000     		do = 1332.20910745054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(-0.99429551) × R
    0.000383489999999986 × 0.545093651631938 × 6371000     		du = 1331.78087160221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99408643)-sin(-0.99429551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545268927195135-0.545093651631938)×R²
    abs(-0.40497093--0.40535442)×0.000175275563197186×R²
    0.000383489999999986×0.000175275563197186×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175275563197186×40589641000000     		ar = 1774282.17402933m²